A note on Hilbert's inequality. (Q2607140)

Es sei \(a_n \geqq 0\), \(\sum\limits_{0}^{\infty} a_n^2\) konvergent. Es wird gezeigt, daß in der \textit{Hilbert}schen Ungleichung \[ \sum\limits_{m, \, n=0}^{\infty} \frac{a_m \, a_n}{m+n+\lambda} \leqq \frac{\pi}{\sin \, \lambda \pi} \sum\limits_{0}^{\infty} a_n^2, \quad 0<\lambda \leqq \frac{1}{2}, \] die Schranke \(\dfrac{\pi}{\sin \, \lambda \pi}\) nicht verbessert werden kann. Für \(0<\lambda < \dfrac{1}{2}\) ist das Gleichheitszeichen möglich, für \(\lambda=\dfrac{1}{2}\) nicht.