A note on two inequalities. (Q2607146)

Der erste Teil der vorliegenden Note enthält zwei einfache Beweise der \textit{Carlson}schen Ungleichheit \[ \left( \sum a_n \right)^4<\pi^2 \sum a_n^2 \sum n^2 a_n^2 \qquad (n=1 \ldots \infty, a_n \geqq 0, \text{ nicht alle } a_n = 0). \] Im zweiten Teil beweist Verf. eine interessante Verschärfung der folgenden Integralungleichung: Wenn für \(0 \leqq x \leqq a\), \(F_1 \leqq f(x) \leqq F_2\) und \(G_1 \leqq g(x) \leqq G_2\) ist und \[ D(f,g) = \frac{1}{a}\int\limits_{0}^{a} fg \, dx \frac{1}{a^2}\int\limits_{0}^{a} f \, dx\, \int\limits_{0}^{a} g \, dx \] gesetzt wird, gilt \[ D(f,g) \leqq c(F_2-F_1)\, (G_2-G_1), \] und darin ist für beliebige stetige Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) \(c=\frac{1}{4}\) die beste Konstante, und für vollmonotone Funktionen \(c=\frac{4}{45}\) (\textit{G. Grüß}, Math. Z. 39 (1934), 215-226; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 189. \textit{E. Landau}, Math. Z. 39 (1935) 742-744; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 201). Verf. zeigt, daß die Konstante \(c\) auf \(c=\frac{1}{12}\) verkleinert werden kann, wenn \(f (x)\) und \(g (x)\) im ganzen Intervall \((0, \infty)\) vollmonoton sind. Der Beweis stützt sich auf die von \textit{S. Bernstein} (Acta Math., Uppsala, 52 (1929), 1-66; F.~d.~M. 55\(_{\text{I}}\), 142-143) angegebene Darstellung einer im Intervall \((0, \infty)\) vollmonotonen Funktion in der Form \(f(x)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-xt}\, d\chi(t)\).