Linear transformations of sequences. (Q2607166)

\[ (a_{n\nu})=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\ldots & a_{1\nu} &\ldots\\ \hdotsfor{5}\\ a_{n1} & a_{n2} &\ldots & a_{n\nu} &\ldots\\ \hdotsfor{5} \end{pmatrix} \] sei eine Matrix mit komplexen Gliedern, die den folgenden Bedingungen genügt: (a) Es gibt ein \(M > 0\), so daß für jedes \(n\) \[ \sum_{\nu=1}^{\infty} |a_{n\nu}| \leqq M \] bleibt. \[ \displaylines{ \text{\qquad (b)}\hfill\lim\limits_{n\to\infty} \left(\sum\limits_{\nu=1}^{\infty} a_{n\nu}\right)=1. \hfill} \] Den Wert \[ \underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} \left(\sum_{\nu=1}^{\infty} |a_{n\nu}|\right)=N \] nennt man die Norm der Matrix \((a_{n\nu})\); als Klasse \(\mathfrak K_N\) bezeichne man die Gesamtheit der Matrizen \((a_{n\nu})\), die den Bedingungen (a) und (b) genügen und eine Norm \(\leqq N\) haben (\(N\) ein fest vorgegebener Wert \(\geqq1\)). \(\mathfrak M\) sei eine gegebene komplexe Menge, \(x_{\nu}\) bedeute jeweils ein Element von \(\mathfrak M\), und \(\mathfrak H (y_n)\) sei die Menge der Häufungspunkte von \[ (y_n)=\left(\sum_{\nu=1}^{\infty} a_{n\nu}x_{\nu}\right). \] Im Anschluß an eine vom Ref. früher aufgeworfenen Frage (\textit{H. Raff}, Beschränkte divergente Folgen und reguläre Matrizen, Math. Z. 36 (1932), 1-34 (F. d. M. 58), S. 2) untersucht der Verf. den Zusammenhang zwischen der gegebenen Menge \(\mathfrak M\) und den Punkten der Mengen \(\mathfrak H (y_n)\); er zeigt dabei u. a: Bei gegebenem \(\mathfrak M\) und festem \(N\geqq 1\) sei \((\mathfrak M)_N\) die Summe aller Mengen \(\mathfrak H (y_n)\), für die \((a_{n\nu})\) zur Klasse \(\mathfrak K_N\) gehört. Dann ist \((\mathfrak M)_N\) der Durchschnitt aller Kreise, die nach Kontraktion um ihren Mittelpunkt im Verhältnis \(1: N\) die Menge \(\mathfrak M\) enthalten. Wenn \(\mathfrak M\) kein Kreis ist, dann gibt es ein \(N^* \geqq 1\), so daß die Gleichung \[ (\mathfrak M^{(1)})_N=\mathfrak M \] mindestens eine Lösung \(\mathfrak M^{(1)}\) für jedes \(1 \leqq N < N^*\), aber keine Lösung für \(N>N^*\) hat. Bei jedem \(\mathfrak M\) ist für \(N_1\geqq1\) und \(N_2\geqq 1\) \[ \left((\mathfrak M)_{N_1}\right)_{N_2}=\mathfrak M_{N_1N_2}. \] Wenn \[ |x-a|\leqq r \] derjenige Kreis mit dem kleinsten Halbmesser ist, der \(\mathfrak M\) enthält, und wenn \(N_{\mathfrak M}(y)\) den kleinsten Wert \(N\) derart bezeichnet, daß \(y\) zu \((\mathfrak M)_N\) gehört, dann gilt \[ N_{\mathfrak M}(y)=\dfrac{|y-a|}{r}+O\left(\dfrac{1}{|y|}\right)\;\text{ für }\;|y|\to \infty. \]