On the absolute summability of series by Rieszian means. (Q2607177)

In Anlehnung an das \textit{Cesàro}sche Mittel heißt für \(k>-1\) die Reihe \(\sum a_n\) absolut summabel \(|C,k|\), falls \[ \sum \left|c_n^{(k)}-c_{n-1}^{(k)}\right| \] konvergiert, wobei \[ c_n^{(k)}=\dfrac{\sum\limits_{\nu=0}^{n} E_{\nu}^{(k)}a_{n-\nu}}{E_n^{(k)}} \] und die \(E_n^{(k)}\) durch die Relation \[ \sum_{0}^{\infty} E_n^{(k)} x^n=(1-x)^{-k-1} \] erklärt sind. (Vgl. \textit{Kogbetliantz}, Bull. Sci. math. (2) 49 (1925), 234-251; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*).) Sind \(k \geqq 0\), \(a \geqq 0\) und \(0 \leqq \lambda_0<\lambda_1<\cdots\) gegeben, so heißt im Anschluß an \textit{Riesz} \(\sum a_n\) absolut summierbar \(|R, \lambda_n, k|\), wenn \[ \int\limits_0^{\infty} \left|\dfrac{d}{dw} \left(\dfrac{\sum\limits_{\lambda_n<w}(w-\lambda_n)^ka_n}{w^k}\right)\right|\,dw \] konvergiert. (Vgl. \textit{Obrechkoff}, C. R. Acad. Sci., Paris, 186 (1928), 215-217; F. d. M. 54, 243 (JFM 54.0243.*)). \(|C,0|\) und \(|R,\lambda_n,0|\) ist mit der absoluten Konvergenz von \(\sum a_n\) äquivalent. Verf. zeigt nun, daß \(|C,k|\) und \(|R, n, k|\) gleichzeitig gelten.