On the summability of series by a method of Valiron. (Q2607182)

Die Reihe \(\sum\limits_0^\infty a_n\) mit den Teilsummen \(s_n\) heißt \((V, \alpha)\)-summierbar zum Werte \(s\), wenn \[ \lim_{\mu\to\infty} \dfrac{\mu^{-\alpha}}{\sqrt{2\pi}} \sum_{-\mu}^\infty \exp\bigg(-\dfrac12 n^2\mu^{-2\alpha}\bigg)\cdot s_{n+\mu} = s \tag{1} \] ist. Dieses Verfahren stellt eine Spezialisierung des von \textit{Valiron} (Rend. Circ. mat. Palermo 42 (1917), 267-284; F. d. M. 46, 487 (JFM 46.0487.*)-488) untersuchten Verfahrens dar. Verf. zeigt, daß das Verfahren für \(0 < \alpha < 1\) permanent ist, d. h. daß aus \((s_n) \to s\) die Beziehung (1) mit demselben \(s\) folgt und daß es sogar für jedes \(\alpha\geqq0\) konvergenzerhaltend ist. Dagegen entbehrt das gegebene Resultat für \(\alpha < 0\) und \(s=0\) eines Sinnes. Eine Beziehung des \((V, \alpha)\)-Verfahrens zum \textit{Cesàro}schen Verfahren wird durch folgenden Satz hergestellt: Wenn \(p\) eine natürliche Zahl und \(0 < \varrho < p\) ist und wenn für die \(c_n^{(p)}\), die \textit{Cesàro}schen Mittel \(p\)-ter Ordnung der Folge (\(s_n\)), \[ c_n^{(p)} = s + o(n^{-\varrho}) \] gilt, so ist \(\sum a_n\) für \(1-\dfrac{\varrho}{p}\leqq \alpha < 1\) \((V,\alpha)\)-summierbar zum Werte \(s\). Weiter wird das Analogon zu der von \textit{R. Schmidt} (Math. Z. 22 (1925), 89-152; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*)-184) gegebenen Form des Umkehrsatzes für das \textit{Abel}sche Verfahren genannt: Ist \(0<\alpha<1\) und \(\sum a_n\) \((V, \alpha)\)-summierbar zum Wert \(s\) und gilt \[ \varliminf_{n\to\infty} (s_{n+p} - s_n)\geqq 0\quad \text{für}\quad p = o(n^\alpha), \] so konvergiert \(\sum\limits_0^\infty a_n\) zum Werte \(s\).