Notes on the theory of series. XX: On Lambert series. (Q2607187)

Eine Reihe \(\sum a_n\) wird \(L\)-summierbar zum Werte \(l\) genannt, wenn für \(y\to+0\) die \textit{Lambert}sche Reihe \[ g(y) = \sum a_n \dfrac{nye^{-ny}}{1-e^{-ny}} \to l \] strebt. Wegen seiner engen Beziehungen zur analytischen Zahlentheorie ist dieses Summierungsverfahren besonders wichtig; seine Untersuchung aber ist schwierig. Es ist bekannt, daß aus der \(C_k\)-Summierbarkeit die \(L\)-Summierbarkeit folgt, aus dieser die \(A\)-Summierbarkeit (d. h. \(\sum a_ne^{-ny} = f(y)\to l\) für \(y\to+0\)). Das sind ``Abelian'', d. h. direkte Sätze; aber der zweite liegt schon recht tief und erfordert zu seinem Beweise den Primzahlsatz. Einen zugehörigen ``Tauberian'' oder \textit{Umkehrsatz} bewies \textit{Ananda Rau} (Proc. London math. Soc. (2) 19 (1921), 1-20; F. d. M. 47, 281 (JFM 47.0281.*)): Aus \(f(y)\to l\) folgt \( g(y)\to l\), falls \[ f'(y)=O(\varphi(y))\quad\text{für ein positives}\quad \varphi(y)\quad\text{mit konvergentem}\quad \int\limits_0^\delta \varphi(y) dy. \tag{1} \] Für diesen Satz wird ein neuer Beweis gegeben und gezeigt, daß er ``ein bester'' Satz seiner Art ist. Ferner werden zwei neue \(A\to L\)-Umkehrsätze gegeben, bei denen die Zusatzbedingungen einfacher sind: Aus \(f(y)\to l\) folgt \(g(y)\to l\), falls \[ y^2 f''(y) > -K \tag{2} \] oder falls \[ y^{1+\delta}+f^{1+\delta}(y) = O(1)\;\text{für ein}\;\delta > 0. \tag{3} \] Bei (3) soll \(f^\alpha(y) = \sum n^\alpha a_ne^{-ny}\) sein. Auch diese beiden Sätze sind ``beste''. Das wird nicht streng bewiesen, aber durch eine Anzahl interessanter Bemerkungen wahrscheinlich gemacht. Insbesondere wird gezeigt, daß die Zusatzbedingung \[ yf(y)\to 0 \tag{4} \] an Stelle von (1), (2) oder (3) nicht ausreichend ist.