Summen von \(\aleph_1\) Mengen. (Q2607206)

Das Hauptresultat dieser wichtigen Arbeit gipfelt in dem Satze: Jeder separable, vollständige, unabzählbare Raum \(X\) läßt sich als Summe von \(\aleph_1\) wachsenden, verschiedenen Mengen \(G_\delta\) darstellen. Bei seinen Überlegungen führt Verf. die Begriffe der \(k\)-Konvergenz und \(m\)-Konvergenz ein, nämlich: Ein metrischer separabler Raum \(X\) sei als Summe von \(\aleph_1\) wachsenden \textit{Borel}schen Mengen \(X^\xi\) dargestellt: \[ X = \sum_{\xi<\varOmega} X^\xi,\qquad X^0\subset X^1\subset\cdots\subset X^\xi\subset\cdots, \tag{1} \] und es sei stets \(X^\xi \neq X\) (bei \(X^\xi = X\) wären die zu definierenden Begriffe trivial). Die Summe (1) heiße \textit{\(k\)-konvergent} (der Kategorie nach konvergent), wenn es ein \(\alpha < \varOmega\) gibt, so daß für \(\xi\geqq\alpha\) stets \(X - X^\xi\) von erster Kategorie in \(X\) ist, \textit{\(m\)-konvergent} (dem Maße nach konvergent), wenn für jede absolut additive, endliche, nichtnegative Maßfunktion, die für die \textit{Borel}schen Mengen \(\subset X\) und für \(X\) selbst definiert ist, für \(\xi\geqq\alpha\) stets \(|X - X^\xi|=0\) ist. Alle bisher bekannten, ohne Kontinuumhypothese definierbaren Darstellungen (1) sind \(k\)-konvergent und \(m\)-konvergent. \textit{Sierpiński} hat in Fundam. Math., Warszawa, 1 (1920), 224 folgende zwei Probleme aufgestellt: (A) Kann eine Summe von \(\aleph_1\) Mengen erster Kategorie von zweiter Kategorie sein? (B) Kann eine Summe von \(\aleph_1\) Nullmengen von positivem äußerem Maße sein? Aus der Bejahung dieser Probleme würde die Existenz \(k\)-divergenter resp. \(m\)-divergenter Darstellungen (1) folgen. Zum Schluß der Arbeit wird die Zerlegung des Raumes \(2^X\) der abgeschlossenen Mengen \(A\) des kompakten Raumes \(X\) nach dem Index der ersten perfekten Ableitung von \(A\) untersucht, woraus sich \(k\)-konvergente und \(m\)-konvergente Summen ergeben. (V 2.)