Sur une suite universelle d'ensembles dénombrables. (Q2607209)

Als Antwort auf eine Frage von \textit{Szpilrajn} (vgl. vorstehendes Referat) beweist Verf. den Satz 1: Es existiert eine unendliche Folge von Mengen \(X_1, X_2, X_3,\ldots\), die aus natürlichen Zahlen bestehen, mit folgender Eigenschaft: Ist \(Y_1, Y_2, Y_3,\ldots\) irgendeine unendliche Mengenfolge, deren Summe \(S = \sum\limits_{n=1}^\infty Y_n\) abzählbar ist, so existiert eine unendliche Folge natürlicher Zahlen \(k_1< k_2 < k_3 <\cdots\) und eine eineindeutige Transformation der Menge \(N\) aller natürlichen Zahlen in die Menge \(S\), \(f(N) = S\), so daß \( f(X_{k_m})=Y_m\) für \( m=1,2,3,\ldots\) ist. Dieser Satz 1 wird mittels des folgenden Satzes 2 bewiesen: Es existiert eine aus den Zahlen 0 und l bestehende Doppelfolge \(\{a_n^m\}\) \((m = 1, 2, 3,\ldots\); \(n = 1, 2, 3,\ldots\)) mit der Eigenschaft: Ist \(\{u_n^m\}\) \((m =1,2,3,\ldots\); \(n = 1, 2, 3,\ldots)\) irgendeine gegebene, aus den Zahlen 0 und 1 gebildete Doppelfolge, so existiert eine unendliche Folge natürlicher Zahlen \(k_1< k_2< k_3<\cdots\) und eine unendliche Folge \(l_1, l_2, l_3,\ldots\), die nur eine Umordnung der Folge \(1, 2, 3,\ldots\) ist, so daß \[ a_{l_n}^{k_m} = u_n^m\quad \text{für}\quad m = 1, 2, 3,\ldots\quad \text{und}\quad n=1,2,3,\ldots \] ist.