Sur les ensembles qui ne contiennent aucun sousensemble indénombrable nondense. (Q2607233)

Nach \textit{Lusin} (C. R. Acad. Sci., Paris, 158 (1914), 1258-1261; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.*)) existiert auf Grund der Kontinuumhypothese eine nicht-abzählbare Menge \(E\) mit der folgenden Eigenschaft (L): \(E\) ist eine lineare Menge und der Durchschnitt von \(E\) mit jeder beliebigen nirgends dichten, linearen Menge, ist höchstens abzählbar. Diese Eigenschaft (L) ist nicht topologisch invariant. Dies veranlaßt die Verf., den folgenden Satz 1 zu beweisen: Damit ein separabler metrischer Raum \(E\) zu einer Menge mit der Eigenschaft (L) homöomorph sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(E\) die folgende Eigenschaft (\(\nu\)) besitzt: Jede (bezüglich \(E\)) nirgends dichte Teilmenge von \(E\) ist höchstens abzählbar. Ferner beweisen die Verf. den Satz 2: Ist \(E\) ein separabler metrischer Raum, so ist dafür, daß jede auf \(E\) definierte reelle Funktion mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft im weiteren Sinne ``fast stetig'' sei, notwendig und hinreichend, daß \(E\) die Eigenschaft (\(\nu\)) besitzt. -- Dabei heiße eine Funktion ``fast stetig'', wenn sie nach Weglassung einer geeigneten abzählbaren Menge von Argumenten stetig ist. Satz 2 bleibt noch richtig, wenn die ``\textit{Baire}sche Eigenschaft im weiteren Sinne'' durch die ``\textit{Baire}sche Eigenschaft im engeren Sinn'' (oder auch durch Halbstetigkeit nach oben) und gleichzeitig die Eigenschaft (\(\nu\)) von \(E\) durch die Eigenschaft (\(\nu\)) der Menge \(E_c\) ihrer Kondensationspunkte ersetzt wird. (V 2.)