Sur une propriété du segment. (Q2607263)

Mittels des Wohlordnungssatzes von \textit{Zermelo} beweist Verf. folgenden Satz: Das abgeschlossene Intervall \(I(0 \leqq x \leqq 1)\) läßt sich in drei punktfremde Mengen derart zerlegen, daß man nach entsprechender Verschiebung zweier dieser Mengen längs der Geraden wiederum drei punktfremde Mengen erhält, deren Summe eine nicht \(L\)-meßbare, das Intervall \(I\) enthaltende Menge bildet. -- Infolge eines (bis jetzt nicht veröffentlichten) Satzes von \textit{Lindenbaum} läßt sich in diesem Theorem die Zahl 3 nicht durch 2 ersetzen. Aus diesem Satz schließt Verf. Folgendes: 1) Es gibt eine lineare perfekte Menge \(Q\), die mit dem Intervall \(I (0\leqq x \leqq 1)\) keine gemeinsamen Punkte hat, so daß die Mengen \(I\) und \(I+Q\) im \textit{Banach-Tarski}schen Sinne endlich zerlegungsgleich sind. -- 2) Es gibt eine lineare, nicht \(L\)-meßbare Menge \(N\), deren \textit{Banach}sches Maß (unabhängig von der Art der Definition des \textit{Banach}schen linearen Maßes) Null ist.