Über die Stieltjessche Integration abstrakter Funktionen. (Q2607283)

Das Ziel der Arbeit ist die Einführung und Untersuchung des \textit{Stieltjes}schen Integrals für abstrakte Funktionen, d. h. für solche Funktionen \(x (t)\), die vom reellen Argumente \(t\) abhängen und deren Werte einem abstrakten, metrischen Raume angehören. Zum Anfang gibt Verf. Definitionen der Meßbarkeit, Totalmeßbarkeit, beschränkten Variation, Absolutstetigkeit und der sogenannten \(w\)-Eigenschaft der abstrakten Funktionen an; die \(w\)-Eigenschaft ist der Beschränktheit der Variation analog, aber nicht mit ihr äquivalent. Für diese Begriffe werden einige Sätze bewiesen. Die oben angeführten Definitionen werden auch auf Mengenfunktionen angewendet, d. h. auf Funktionen \(x(e)\), wo \(e\) in einem Intervall \((a, b)\) liegende, meßbare Mengen sind. Nun definiert Verf. das \textit{Stieltjes}sche (S-)Integral \(\int\limits_a^b x(t) dy(t)\) und gibt verschiedene Eigenschaften dieser Integrale. Analog zu einem ähnlichen Satze für reelle S-Integrale gilt für S-Integrale der abstrakten Funktionen der Satz: ``Existiert das Integral \(\int\limits_a^b x (t) dy (t)\) für jede stetige Funktion \(x (t)\), so hat \(y (t)\) die \(w\)-Eigenschaft''. Weiter folgen einige Sätze über das S-Integral im Falle, daß \(x (t)\) stetig ist und \(y (t)\) die \(w\)-Eigenschaft besitzt. -- Zum Schluß wird das \textit{Radon}sche Integral eingeführt, und mit dessen Hilfe werden die Sätze von \textit{Fichtenholz-Kantorowitch} und \textit{F. Riesz} über die allgemeine Form eines linearen Funktionals im Raume der beschränkten meßbaren Funktion bzw. im Raume der stetigen Funktionen verallgemeinert.