Einschließungssätze zur Berechnung von Integralen. (Q2607300)

Verf. beweist die folgenden Sätze: Wird das Intervall \(\langle \alpha, \beta \rangle\) in Teilintervalle \(\langle a, b\rangle\) zerlegt, die nicht gleich groß zu sein brauchen, so liegt das Integral \(\int\limits_{\alpha }^{\beta }f(x)\, dx\), wenn \(f''(x)\) im Intervall \(\langle \alpha, \beta \rangle\) zeichenbeständig ist, zwischen den Trapezsummen \[ T=\frac{1}{2}\textstyle\sum\displaystyle(b-a)\,[f(b)+f(a)]\;\;\text{und}\;\;T^{\ast}= \frac{1}{2}\textstyle\sum\displaystyle(b-a)\, \biggl[f\biggl(\frac{3a+b}{4}\biggr)+f\biggl( \frac{a+3b}{4}\biggr)\biggr]. \] Hat \(f^{\text{IV}}(x)\) in dem Intervall \(\langle \alpha, \beta \rangle\) ein festes Zeichen, so liegt dieses Integral zwischen den beiden Summen \[ \begin{gathered} S=\frac{1}{6}\textstyle\sum\displaystyle(b-a)\, \biggl[f(a)+4f\,\biggl(\frac{a+b}{2}\biggr)+f(b)\biggr]\\ \text{und} S^{\ast}=\frac{1}{27}\textstyle\sum\displaystyle(b-a)\, \biggl[8f\,\biggl(\frac{7a+b}{8}\biggr)+11f\,\biggl(\frac{a+b}{2}\biggr)+ 8f\,\biggl(\frac{a+7b}{8}\biggr)\biggr]. \end{gathered} \]