Sur la dérivation abstraite des fonctions d'ensemble. (Q2607328)

Eine vorläufige Mitteilung zu dieser Arbeit ist in C. R. Acad. Sci., Paris, 201 (1935), 579-581 erschienen; es sei auf das Referat hierüber (F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 254-255) verwiesen. Auf Grund der jetzt vorliegenden Arbeit werde hierzu noch folgendes ergänzend erwähnt: Ist \(\mathfrak M\) ein ``Maßraum'' mit dem ``Maß'' \(m\), so wird nunmehr eine für alle meßbaren Mengen \(E\) definierte, absolut additive, reellwertige Mengenfunktion \(\vartheta E\), die für jede meßbare Menge vom Maß Null verschwindet, vom Verf. als ``Mengenfunktion der Basis \(m\)'' bezeichnet. Zu einer solchen Funktion \(\vartheta E\) existiert eine Punktfunktion \(f(p)\) derart, daß \[ \vartheta E=\textstyle\int\limits_{E}f(p)\,dm \] ist (wobei rechts ein abstraktes \textit{Lebesgue}sches Integral steht). Diese Funktion \(f(p)\) wird hier vom Verf. als die ``Pseudo-Ableitung der Funktion \(\vartheta \) bezüglich \(m\)'' bezeichnet. Es handelt sich dann wesentlich darum, Bedingungen für ein Umgebungssystem \(\mathfrak S\) zu finden, so daß die vom Verf. definierten Derivierten von \(\vartheta E\) bezüglich \(m\) und \(\mathfrak S\) fast überall gleich der Pseudo-Ableitung von \(\vartheta \) bezüglich \(m\) werden. Insbesondere wird der Fall untersucht, daß dies für alle \(\vartheta \) mit beschränkter Pseudo-Ableitung zutrifft. In diesem Fall werden die betreffenden Bedingungen durch die im früheren Referat erwähnten fünf einander gleichwertigen Eigenschaften von \(\mathfrak S\) geliefert.