Continuation of differentiable functions through the plane. (Q2607337)

Besitzt eine Funktion \(f(x, y)\) in einem Gebiet \(G\) der Ebene stetige partielle Ableitungen einschließlich \(m\)-ter Ordnung und lassen sich alle diese Ableitungen stetig auf \(\overline{G}\) erweitern, so heißt \(f\) eine \(C^m\)-Funktion in \(G\). Verf. greift ein Problem von \textit{H. Whitney} (Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 63-89; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 217) auf: Wann läßt sich ein solches \(f\) erweitern zu einer \(C^m\)-Funktion in einem Gebiet \(H\supset\overline{G}\)? In elementarer Weise konstruiert Verf. \(C^2\)-Erweiterungsfunktionen für den Fall, daß es sich um eine Fortsetzung über einen Randbogen von \(G\) handelt, der streng monoton und zweimal stetig differenzierbar ist oder allgemeiner einer \textit{Lipschitz}-Bedingung genügt, weiter für den Fall einer \(C^2\)-Erweiterung vom Äußeren des Einheitskreises über diesen auf das ganze Innere. Schließlich wird eine \(C^\infty \)-Funktion in einem von einer einfachen geschlossenen Kurve begrenzten Gebiet angegeben, für die nicht einmal \(C^1\)-Erweiterung über irgendeinen Teilbogen der Begrenzung möglich ist.