A theorem on the difference quotient \((f(b)-f(a)/(b-a)\). (Q2607343)

Im ersten Abschnitt wird der bekannte Satz bewiesen: Besitzt \(f(x)\) im Punkte \(x = c\) die Ableitung \(f'(c)\), so ist \[ \lim_{\substack{ a\to c, b\to c\\ a<c, b>c}} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c). \] Aus diesem Satz versucht Verf. im zweiten Abschnitt neue hinreichende Bedingungen für die Umkehrbarkeit der Differentiationsfolge zu folgern, begeht aber dabei zwei Fehler. Erstens schließt er aus der Voraussetzung: ``\(f_{yx}\) ist im Punkte \((x_0, y_0)\) stetig nach \(y\)'' die Existenz von \(f_{y}\) in einer vollen Umgebung von \((x_0, y_0)\), was nicht zulässig ist. Dieses Versehen ließe sich immerhin noch durch Erweiterung der Voraussetzungen beheben. Nicht so das zweite: Er beachtet in der Mittelwertsatzentwicklung \[ k\bigl(f_y(x_0+h, y_0+\theta k)-y_y(x_0, y_0+\theta k)\bigr) \] die Abhängigkeit der Größe \(\theta \) von \(k\) nicht. Ebenso unhaltbar ist sein Beweis im dritten Abschnitt, der neue hinreichende Bedingungen für die totale Differenzierbarkeit von \(f(x, y)\) im Punkte \((x_0, y_0)\) erbringen will: Für die vom Verf. verwendete Größe \(c_{h}\), die auch von \(k\) abhängt, gilt zwar \(\displaystyle\lim_{\substack{ h\to 0\\ k\not=0}} c_h=0\) bei festgehaltenem \(k\), aber nicht \kern-6pt\(\displaystyle\lim_{h\to0, k\to0}\kern-2pt c_h=0\), was zum Beweise nötig wäre.