Über die sogenannte Hospitalsche Regel. (Q2607344)

Ohne Heranziehung des ``erweiterten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung'' wird für zwei differenzierbare Funktionen \(\varphi (x)\) und \(\psi (x)\), für die \(\psi '(x)\not=0\) ist, ferner für \(x\to\infty \) auch \(|\,\psi (x)\,|\to\infty \) und \(\dfrac{\varphi '(x)}{\psi '(x)}\to A\) strebt, gezeigt, daß auch \(\dfrac{\varphi (x)}{\psi (x)}\to A\) strebt; und zwar wird zunächst die Ungleichung \[ (A-\varepsilon )\psi '<\varphi '<(A+\varepsilon )\psi ' \] bewiesen, aus der dann wegen der Monotonität der beiden Funktionen \(\varphi -(A\pm\varepsilon )\psi \) folgt: \[ A-\varepsilon <\frac{\varphi }{\psi }<A+\varepsilon \] Auch alle übrigen Fälle der \textit{Hospital}schen Regel lassen sich nach dieser Methode beweisen. Der angedeutete Beweis ist mit einer kleinen Modifikation auch dann anwendbar, wenn \(\psi '(x)\) ``immer wieder'' (d. h. für eine Menge von \(x\)-Werten mit der oberen Grenze \(\infty \)) gleichzeitig mit \(\varphi '(x)\) verschwinden darf, während sonst \(\psi '(x)>0\) ist. Hier würde der übliche vom erweiterten Mittelwertsatz ausgehende Beweis versagen.