Sur les fonctions indépendantes. II: La loi exponentielle; la divergence de séries. (Q2607362)

Die Funktionen \(\varphi _k(x)\) (\(0\leqq x\leqq 1\), \(k = 1\), 2, 3,\dots ) heißen gleichartig (également) integrierbar, wenn es zu jedem \(\varepsilon \) eine Zahl \(M(\varepsilon )\) derart gibt, daß \[ \biggl|\,\textstyle\int\limits_{E_k}\varphi _k(x)\,dx\,\biggr|<\varepsilon \;\text{ausfällt,} \] wobei \(E_{k}\) für \(\underset{x}{E}\bigl(|\,\varphi _k(x)\,|>M\bigr)\) gesetzt ist. Es bezeichne \(\{f_n(x)\}\) eine Folge unabhängiger Funktionen, für welche \[ \textstyle\int\limits_{0}^{1}f_n(x)\,dx=0,\quad\int\limits_{0}^{1} f_n^2(x)\,dx=1\qquad(n=1, 2, 3,\dots ) \] ist. Ferner sei die Folge \(f_n^2(x)\) gleichartig integrierbar. Dann ist: \[ \lim_{n\to\infty }\biggl|\,\underset{x}{E} \biggl(\alpha <\frac{1}{\sqrt{2n}}\textstyle \sum\limits_{k=1}^{n} \displaystyle f_k(x)<\beta \biggr)\;\biggr|=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int\limits_{\alpha }^{\beta }e^{-t^2}\,dt. \] Ist ferner \(c_{k}\) eine Folge mit divergenter Quadratsumme \(\textstyle \sum\limits_{k=1}^{\infty } \displaystyle c_k^2\), ist \(\displaystyle\lim_{k\to\infty }c_k=0\) und gelten für \(\{f_k(x)\}\) die genannten Voraussetzungen, so divergiert \[ \textstyle \sum\limits_{k=1}^{\infty } \displaystyle c_kf_k(x) \] fast überall.