Beiträge zur Theorie der Orthogonalentwicklungen. V. (Q2607365)

Die Arbeit schließt an die gleichbetitelten Teile I, II und III (Studia math., Lwów, 1 (1929), 1-39, 249-255; Bull. intern. Acad. Polonaise Sci., Cl. Sci. math. nat. A 1932, 229-238) an, die in F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 164-165 und \(58_{\text{I}}\), 283 besprochen wurden. Die dabei erklärten Bezeichnungen werden hier weiter benutzt. Äquivalente Funktionen, d. h. solche, die sich höchstens auf einer Nullmenge unterscheiden, werden als gleich angesehen, und es wird demgemäß einer Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, Beschränktheit usw.) schon dann zugesprochen, wenn wenigstens eine äquivalente Funktion diese Eigenschaft besitzt. Zu den früher behandelten Problemen werden jetzt die folgenden Sätze bewiesen: 1. Es bezeichne (\(S\)) einen der drei Räume \(L^\alpha \) (d. h. der in der \(\alpha\)-ten Potenz, \(\alpha >1\), integrierbaren Funktionen), \(L^\infty \) (d. h. der beschränkten Funktionen) oder \(V\) (d. h. der Funktionen mit beschränkter Schwankung). Ist dann \(\bigl(\varphi _\nu (x)\bigr)\) ein vollständiges OS in (\(S\)), dessen Funktionen beschränkt sind und dem Raume (\(S\)) angehören, und ist die Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \textstyle \sum\limits_{\nu =1}^{\infty } \displaystyle \varepsilon _\nu p_\nu \varphi _\nu (x)\hfill} \] bei beliebiger Vorzeichenverteilung \(\varepsilon _\nu =\pm1\) die OE einer Funktion aus (\(S\)), so ist auch die Reihe \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \textstyle \sum\limits_{\nu =1}^{\infty } \displaystyle d_\nu p_\nu \varphi _\nu (x)\hfill} \] bei beliebigen \(|\,d_\nu \,|\leqq 1\) die OE einer Funktion aus (\(S\)). 2. Es sei \(\bigl(\varphi _\nu (x)\bigr)\) ein im Raume \(C\) (d. h. der in \(\langle 0, 1\rangle\) stetigen Funktionen) abgeschlossenes OS, dessen Funktionen beschränkt sind. Ist dann (1) bei beliebiger Vorzeichenverteilung die OE einer Funktion aus \(L^1\), so ist dies auch mit (2) bei beliebigen \(|\,d_\nu \,|\leqq 1\) der Fall. Die Vorzeichenverteilungen \(\varepsilon _\nu =\pm1\) lassen sich leicht den reellen Zahlen (etwa mit Hilfe der dyadischen Darstellung derselben) im wesentlichen umkehrbar-eindeutig zuordnen. Es ist danach klar, was unter ``fast allen Vorzeichenverteilungen'' zu verstehen ist. Mit dieser Redeweise gilt noch der Satz: 3. Unter den Voraussetzungen des Satzes 1 ist die Reihe (1) entweder für fast jede oder für fast keine Vorzeichenverteilung die OE einer Funktion aus (\(S\)). -- Eine entsprechende Ergänzung gilt für Satz 2. Endlich werden noch in spezielleren Fällen Bedingungen angegeben, unter denen (1) für fast jede Vorzeichenverteilung die OE einer Funktion einer gewissen Klasse ist.