Some more theorems concerning Fourier series and Fourier power series. (Q2607380)

Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der folgende Satz: Es sei \(f(x)\) eine Funktion der Periode \(2\pi \), \[ 2\varphi (x, t)=f(x+t)+f(x-t)-2f(x) \] und \(k\geqq p>1\); dann gilt die Ungleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \biggl\{\textstyle\sum\limits_{n} \dfrac{|\,s_n(x)-f(x)\,|^k}{n}\biggr\}^{\tfrac{1}{k}}\leqq K(p, k)\,\biggl\{\textstyle\int\limits_{0}^{\pi }\dfrac{|\,\varphi (x, t)\,|^p}{t}\,dt\biggr\}^{\tfrac{1}{p}}, \hfill} \] wobei \(K(p, k)\) nur von \(p\) und \(k\) abhängt und \(s_{n}\) die Partialsummen der \textit{Fourier}reihe von \(f\) bezeichnet. Zum Beweis leiten die Verf. einige bemerkenswerte Ungleichungen ab. Es finden sich ferner analoge Sätze für Grenzfunktionen von für \(|\,z\,|<1\) regulären Funktionen. In diesem Falle gilt die Ungleichung (1) auch für \(p = 1\).