On the conjugate functions of an integrable function and Fourier series and Fourier transform. (Q2607382)

Daß das Restglied der \textit{Fourierreihe} einer im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrablen Funktion \(f(x)\) im Mittel gegen Null strebe, braucht nicht zu stimmen; doch erhält man hieraus einen richtigen Satz, wenn man statt des Restgliedes \(R\) selbst die Funktion \(R^{1-s}\) betrachtet \((0 < \varepsilon < 1)\). Diesen Satz von \textit{Kolmogorov} (Fundam. Math., Warszawa, 7 (1925), 24-29; F. d. M. 51, 216 (JFM 51.0216.*)) verschärft der Verf., indem er die der Identität nähere Funktion \[ \varPhi (x)=\frac{x}{1+|\,\log\,x\,|^{1+\varepsilon }} \] verwendet \((\varepsilon > 0)\). -- Über die konjugierte Funktion \[ g(x)=\frac{1}{\pi }\int\frac{f(t)}{t-x}\,dt \] einer noch in \(p\)-ter Potenz integrablen Funktion \(f(x)\) gilt für \(p>1\) mit nur von \(p\) abhängigem \(M\) der Satz von \textit{M. Riesz} (C. R. Acad. Sci., Paris, 178 (1924), 1464-1467; F. d. M. 50, 201 (JFM 50.0201.*)-202), daß das Integral von \(|\,g\,|^p\) höchstens gleich dem \(M\)-fachen des Integrals von \(|\,f\,|^p\) ist; der Satz versagt jedoch für \(p = 1\). Verf. behebt diese Schwierigkeit, indem er \(|\,g\,|\) durch \(\varPhi (|\,g\,|)\) ersetzt. Endlich bringt er unter Verwendung dieser Funktion \(\varPhi \) noch drei Konvergenzsätze über die Beziehungen zwischen einer Funktion und ihrer \textit{Fourier}-Transformierten.