Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse. (Q2607384)

Betrachtet man das Problem der Annäherungen einer Funktion \(f\) durch lineare Formen \[ \varphi =c_1\varphi _1+c_2\varphi _2+\dots +c_n\varphi _n \] mit festen Funktionen \(\varphi _1\), \(\varphi _2\),\dots, \(\varphi _n\), so entsteht die Aufgabe (das \textit{Tchebycheff}sche Problem), mit Hilfe einer geeigneten Wahl der Koeffizienten \(c_1\), \(c_{2}\),\dots, \(c_{n}\), die Entfernung \(\varrho (f, \varphi )\) möglichst klein zu machen. Mit \(E_n(f)\) wird die untere Grenze von \(\varrho (f, \varphi )\) bezeichnet. Für eine Klasse \(F\) von Funktionen \(f\) wird weiter mit \(E_n(F)\) die obere Grenze von \(E_n(f)\) für alle \(f\) aus \(F\) bezeichnet. Verf. stellt eine neue Aufgabe: bei gegebenen \(F\) und \(n\) durch die Wahl von Funktionen \(\varphi _1\), \(\varphi _2\),\dots, \(\varphi _n\) das Minimum zu erreichen. Mit \(D_n(F)\) wird die untere Grenze von \(E_n(F)\) bezeichnet. Wenn \(E_n(F)\) wirklich das Minimum \(D_n(F)\) erreicht, so kann man auch die Eindeutigkeitsfrage stellen, und zwar in folgendem Sinne: Sind die Funktionen \(\varphi _1\), \(\varphi _2\),\dots, \(\varphi _n\), welche das Minimum \(D_n(F)\) realisieren, bis auf eine lineare Transformation eindeutig bestimmt oder nicht? Verf. betrachtet weiter nur die Funktionen einer reellen Veränderlichen, welche auf der Strecke (0, 1) definiert sind. Als Entfernung führt er \[ \varrho (f, \varphi )=\biggl[\textstyle\int\limits_{0}^{1}(f-\varphi )^2\,dx\biggr]^{\frac{1}{2}} \] ein. Unter diesen Voraussetzungen gelingt es dem Verf., für die folgenden Funktionenklassen einfache Resultate zu erhalten: 1. \(F_p(p\geqq 1)\) besteht aus allen \(p\)-fach differenzierbaren Funktionen \(f\) mit \[ \textstyle\int\limits_{0}^{1}\{f^{(p)}\}^2\,dx\leqq 1. \] 2. \(F_p^{\ast}(p\geqq 1)\) besteht aus allen Funktionen von \(F_{p}\), welche den Periodizitätsbedingungen \(f(0)=f(1)\), \(f'(0)=f'(1)\),\dots, \(f^{(p-1)}(0)=f^{(p-1)}(1)\) genügen.