Abschnittsverhalten bei trigonometrischen und insbesondere Fourierschen Reihen. (Q2607399)

Es sei \(\varphi (x_1, x_2,\dots,x_n)\) eine Funktion von \(n\) reellen Veränderlichen \(x_{1}\), \(x_{2}\),\dots, \(x_{n}\), \(\{P_m\}\) eine Folge von Punkten des \(n\)-dimensionalen Raumes und \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \textstyle\sum c_\nu \hfill} \] eine beliebige Reihe. Verf. betrachtet die Summationsmethoden der Reihe (1), die durch die Formeln \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \mathfrak S_m=\textstyle\sum\limits_{\varkappa =0}^{m} c_\varkappa \varphi (\varkappa P_m)\hfill} \] definiert sind. Wenn \(\sigma _n^{(\varkappa )}\) die Mittel \(\varkappa \)-ter Ordnung der Reihe (1) bezeichnen, kann man den Hauptsatz folgendermaßen aussprechen: Wenn die Funktion \(\varphi \) stetige Ableitungen der Ordnung \(\varkappa +1\) besitzt und wenn \(x_i^{(m)}=O(m^{-1})\) (\(i=1\), 2,\dots, \(n\)), so zieht die Annahme \(\sigma _n^{(\varkappa )}\to s\) die Formel \[ \mathfrak S_m-\textstyle\sum\limits_{i=0}^{\varkappa -1}\displaystyle\binom{m}{i}\bigl(\sigma _{m-i}^{(i)}-s\bigr)\varDelta _{m, m-i}^{(i)}\to s\varphi (0) \] nach sich, wobei \[ \varDelta _{m, \varkappa }^{(i)}=\varDelta _{m, \varkappa }^{(i-1)}-\varDelta _{m, \varkappa +1}^{(i-1)},\;\;\varDelta _{m, \varkappa }^0=\varphi (\varkappa P_m),\;\;P_m=\bigl(x_1^{(m)}, x_2^{(m)},\dots,x_n^{(m)}\bigr) \] ist. Durch Spezialisieren der Funktion \(\varphi \) und der Folge \(\{P_m\}\) und Anwendung der Ergebnisse auf trigonometrische Reihen erhält man viele neue Sätze. Z. B. gelten die Formeln \[ \begin{gathered} S_m(x)+(-1)^{r-1}m^{-2r}\frac{d^{2r}}{dx^{2r}}S_m(x)\to A(x),\;\;\\ \overline{S}_m(x)+(-1)^rm^{-(2r-1)}\frac{d^{2r-1}}{dx^{2r-1}}S_m(x)\to \overline{A}(x),\end{gathered} \] wobei \(S_{m}(x)\) und \(\overline{S}_m(x)\) die Teilsummen einer trigonometrischen Reihe und ihrer konjugierten Reihe sind und die Reihen als summierbar nach der Methode der \textit{Fejér}schen Mittel zum Werte \(A(x)\) bzw. \(\overline{A}(x)\) vorausgesetzt werden. Durch Verbindung dieser Sätze mit bekannten Sätzen über die Summabilität von \textit{Fourier}-\textit{Lebesgue}schen Reihen und ihrer konjugierten Reihen nach der Methode der \textit{Cesàro}schen Mittel gelangt Verf. zu einer anderen Klasse von Anwendungen des genannten Satzes. Schließlich findet man in dieser Note Untersuchungen über das \textit{Gibbs}sche Phänomen für die Ausdrücke (2).