Über räumliche harmonische Entwicklungen, welche in der Einheitskugel positiv sind. (Q2607439)

Es handelt sich um die Klasse \(\mathfrak K\) der in der Einheitskugel konvergenten und dort positiven harmonischen Entwicklungen \(\sum\limits_{m=0}^\infty K_m(x, y, z)\), in denen \(K_m\) eine Kugelfunktion \(m\)-ter Ordnung ist. Welches ist die größte Kugel \(r < r_n\), in der der \(n\)-te Abschnitt \(\sum\limits_{m=0}^n K_m\) bei sämtlichen Funktionen von \(\mathfrak K\) positiv bleibt? Man erkennt zunächst \(r_n\) als den größten Wert von \(r\), für den das besondere harmonische Polynom \[ s_n (r, \gamma) = \sum_{m=0}^n (2m + 1) r^m P_m (\cos\,\gamma) \] für alle \(\gamma\) in \(0 \leqq \gamma \leqq \pi\) nicht-negativ bleibt; \(P_m\) ist das \(m\)-te \textit{Legendre}sche Polynom. Bei großen \(n\) stellt sich \(r_n\) asymptotisch übersichtlich dar, nämlich als \[ r_n = 1 - \frac{2\log\, n - \log\log \, n + \lambda + \varepsilon_n}{n}, \quad \lim_{n\to\infty} \varepsilon_n = 0 \] Hier ist \(\lambda = \log\, 2\) für ungerade \(n\), dagegen \(\lambda = \log (2\mu)\) für gerade \(n\); \(\mu \sim 0,4028\) ist der Betrag des Kleinstwertes der \textit{Bessel}schen Funktion \(I_0(x)\) für reelle \(x\). Verf. beweist dies in folgenden Schritten: Indem er \(n\) groß genug annimmt, zeigt er zunächst mit Hilfe der Erzeugenden der Reihe \(s_\infty (r, \gamma)\) und der \textit{Stieltjes}schen Annäherung der \(P_m (\cos\, \gamma)\), daß \(s_n (r, \gamma) > 0\) ist für \(0\leqq \gamma \leqq \pi -\varepsilon\) und \[ r = 1 - \frac{2 \log\,n - \log \log\, n + c}{n} \tag{1} \] mit festen reellen \(\varepsilon\), \(c\) und \(0 < \varepsilon < \pi\). Weiter findet er kraft der \textit{Mehler}schen Formel, daß \(s_n (r, \gamma) > 0\), wenn mit festen \(\eta\) und \(c\), \(0 < \eta < \pi\), \(c > \log\, 2\) \[ \eta \leqq \gamma \leqq \pi \] ist und \(r\) die Bedeutung (1) hat. Aus diesen beiden Ergebnissen läßt sich die Behauptung herleiten -- für gerade \(n\) schwerer als für ungerade. \ \ (IV 13.)