Almost periodic properties of bounded solutions of linear differential equations with almost periodic coefficients. (Q2607451)

Diese Arbeit ist vor allem als Anwendung der \textit{v. Neumann}schen Darstellungstheorie beliebiger Gruppen interessant. Im System \[ \frac {d\xi_\mu}{dt} = \sum_{\nu = 1}^n \alpha_{\mu\nu} (t) \xi_\nu (t) \qquad (\mu = 1, \dots, n) \] seien die \( \alpha_{\mu\nu} (t)\) fastperiodisch und ihre \textit{Fourier}exponenten im Modul \(M\) enthalten. Weiter sei \(\int\limits_0^t \mathfrak J ( \alpha_{11} (\tau) + \cdots + \alpha_{nn} (\tau)) \, d \tau\) beschränkt. Ein beliebiges nicht singulares Lösungssystem \(\xi_{1\sigma} (t), \dots, \xi_{n\sigma} (t)\) mit \(\sigma = 1,\dots, n\) werde mit \(X(t)\) bezeichnet und als beschränkt vorausgesetzt. Dann kann man zu neuen Lösungssystemen übergehen indem man mit gewissen passenden Folgen \(h_i\) bildet: \(X^*(t) = \lim X(t + h_i)\). Das ist offenbar \(= X(t)\cdot C\), und die konstanten Matrizen \(C\) bilden eine Gruppe \(\mathfrak G\). Weil \(X(t)\) beschränkt, sind es auch die \(C\); sie bilden also eine Normaldarstellung im \textit{v. Neumann}schen Sinne. Deshalb gibt es eine Lösung \(X^\prime (t) = X(t) \cdot K\), für die \(\mathfrak G\) nur aus unitaren Matrizen besteht. Für alle ``passenden'' \(h_i\) und \(\{\xi_{\mu\sigma} (t)\} = X^\prime (t)\) gilt daher \[ f(t)= \sum_{\sigma = 1}^n |\xi_{\mu\sigma}(t)|^2 = \lim f(t + h_i). \] Diese Invarianzeigenschaft bedeutet, daß \(f (t)\) fastperiodisch (d. i. normal) ist mit einem Modul \(\subset M\). Wenn \(\mathfrak G\) abelsch, so können alle \(C\) auf Diagonalform gebracht werden; daraus folgt, daß \[ f(t) = |\xi_{\mu\nu}(t)| \] und \[ g(t) = \frac 1{2i} ( \overline{\xi}_{\mu\nu }(t) \xi_{\mu\nu }^\prime (t) \xi_{\mu\nu }^\prime (t) \overline{\xi}_{\mu\nu }^\prime (t) ) \] fastperiodisch sind mit einem Modul \(\subset M\). Das ist interessant, weil für jede Funktion \(\xi_{\mu\nu }\) gilt: \[ \xi_{\mu\nu } = f(t) \text{ exp }\left( i \int \frac {g(t)}{f(t)^2} \, dt \right). \] (IV10.)