Ein allgemeiner Satz über die Integration eines trigonometrischen Polynoms. (Q2607452)

Verf. beweist den Satz: Es sei \[ p(t)=\sum\limits_{n=1}^N (\alpha_n \cos \lambda_n t + \beta_n \sin \lambda_n t) \] ein trigonometrisches Polynom ohne konstantes Glied, und es bezeichne \(\varLambda\) die kleinste der positiven Zahlen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N\). Ferner sei \(K\) die obere Grenze von \(| p (t)|\) für \(- \infty < t < \infty\). Dann gilt für das Integral \[ P(t) = \int p(t)\, dt = \sum_{n=1}^N \frac 1{\lambda_n} (\alpha_n \sin \lambda_n t- \beta_n \cos \lambda_n t) \] die Ungleichung \[ |P(t)| \leqq \frac \pi{2} \frac K\varLambda. \] Dieser Satz kann aus dem folgenden von \textit{Favard} (J. Math. pur. appl. (9) 6 (1927), 229-336; F. d. M. 53, 242 (JFM 53.0242.*)) geschlossen werden: Hat die \textit{Fourier}reihe \[ \sum_{n=1}^\infty (\alpha_n \cos \lambda_n t + \beta_n \sin \lambda_n t) \] einer gegebenen fastperiodischen Funktion \(f (t)\) kein konstantes Glied und ist die untere Grenze der \(\lambda_n\) positiv, so ist das Integral \(F (t) = \int f(t)\, dt\) wieder fastperiodisch und hat bei geeigneter Normierung die \textit{Fourier}reihe \[ \sum_{n=1}^\infty \frac 1{\lambda_n} (\alpha_n \sin \lambda_n t - \beta_n \cos \lambda_n t). \] Dies folgt einfach aus der Polynomapprxiomation der fastperiodischen Funktionen. Umgekehrt zieht aber auch der \textit{Bohr}sche Satz den \textit{Favard}schen nach sich, was mit Hilfe des Zahlenmoduls von \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) gefolgert wird. Verf. gibt nun einen direkten Beweis seines Satzes. Durch passende Normierung kann \(K = 1, \varLambda = 1\) angenommen werden. Nun wird das Polynom \[ \varphi (s) = \sum_{n=1}^N (\alpha_n + i \beta_n) e^{- \lambda_n s} \qquad (s = \sigma + it) \] betrachtet, dessen Realteil \(H (\sigma, t)\) für \(\sigma = 0\) mit \(p (t)\) übereinstimmt. Der behauptete Satz folgt sodann mit Benützung von \(\dfrac {\partial^2 H }{\partial \sigma^2} = - \dfrac {\partial^2 H }{\partial t^2}\) durch Integration über \(\sigma \) von \(H (\sigma, t)\) aus der für \(\sigma \geqq 0\) gültigen Abschätzung \(|H(\sigma, t)| \leqq \dfrac{4}{\pi} \text{ arctg } e^{-\sigma}\), wo arctg den Hauptwert bezeichnet. Diese wird vermittels der Abbildung \(w = \text{ tg } \left( \dfrac \pi{4} \cdot \varphi (s) \right)\) aus dem Dreigeradensatz entnommen. Daß die Konstante \(\dfrac \pi{2}\) nicht verbessert werden kann, zeigt ein Beispiel, welches mit Hilfe der \textit{Fejér}schen Mittel aus der Funktion \[ f(t) = \left\{ \begin{matrix} \l & & \r \\ +1 & \quad \text{ für } & -\pi < t < 0 \\ -1 & \quad \text{ für } & 0 < t < \pi \\ \end{matrix} \right.; \quad f(0) = f(\pi) = 0 \] gebildet ist. \ \ (IV 3 D.)