Les conditions de monogénéité. (La théorie des fonctions. III.) (Q2607464)

Diese Abhandlung faßt eine Reihe von Untersuchungen verschiedener Autoren zusammen, die alle das Ziel haben, möglichst schwache Bedingungen aufzufinden, die noch hinreichen, eine komplexe Funktion als holomorph zu charakterisieren. Den ersten Schritt hat hier wohl \textit{Goursat} getan, der die Bedingung der Stetigkeit der Ableitung als unnötig erkannte. In anderer Richtung liegt der Satz von \textit{Looman}, der als Bedingung für den holomorphen Charakter von \(f(z) = f(x + iy) = u + iv\) nur die Existenz und Endlichkeit von \(\dfrac{\partial u}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial u}{\partial y}\), \(\dfrac{\partial v}{\partial x}\), \(\dfrac{\partial v}{\partial y}\) und das Erfülltsein der \textit{Cauchy-Riemann}schen Differentialgleichungen annimmt, unter Verzicht auf die Voraussetzung der Stetigkeit der partiellen Ableitungen. Man findet hier einen von \textit{S. Saks} gegebenen sehr übersichtlichen Beweis des \textit{Looman}schen Satzes. Ferner werden die punktweise Winkeltreue und Streckentreue im Sinne von \textit{Remak} und \textit{Bohr} behandelt. \textit{Bohr} hatte die Hinlänglichkeit der Streckentreue für eineindeutige Abbildungen bewiesen, Verf. dann auch die Hinlänglichkeit der Winkeltreue. Ein Satz des Ref. hatte nicht die Eineindeutigkeit, dafür aber eine gewisse Beschränkung des Vergrößerungsverhältnisses verlangt. Verfeinerungen von Sätzen dieser Art hat dann der Verf. gegeben, der die Bedingung der Winkeltreue bzw. Streckentreue auf nur je drei von jedem Punkt ausgehenden Strahlen für ausreichend erkannte. Im letzten Abschnitt werden endlich noch Abschwächungen unter Benutzung des Begriffs der asymptotischen Differentiation gegeben. -- Die Beweise sind klar und fast sämtlich auch vollständig gegeben, so daß nur an wenigen Stellen ein Verweis auf die Originalarbeiten nötig ist. Eine Bibliographie des Problemkreises schließt die Abhandlung.