Über die Potenzreihe und die zugehörigen Legendreschen Polynome. (Q2607479)

Verf. ordnet den Abschnitten \[ s_n(z)= \sum_{k=0}^n a_k z^k \tag{1} \] einer Potenzreihe \[ F(z)= \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \tag{2} \] die Polynome \[ P_n(\cos \theta) = 2a_0 a_n \cos n\theta + 2a_1a_{n-1} \cos (n - 2)\theta + 2a_2 a_{n-2} \cos (n - 4) \theta + \cdots \] zu, von denen die \textit{Gegenbauer}schen und die \textit{Legendre}schen Polynome \(X_n (\cos \theta)\) Sonderfälle sind. Von den Nullstellen der \(X_n(x)\) handelt ein Satz von \textit{Markoff } und \textit{Stieltjes}; diesen verallgemeinert Verf. zu folgendem Ergebnis über die \(P_n\): Ist die Folge der Vorzahlen \(a_m\) (\(m = 0, 1,\dots \)) volleinsinnig, so sind die Wurzeln der algebraischen Gleichung \(P_n (x) =0 \) sämtlich reell, voneinander verschieden und liegen im Gebiete \(- 1 < x < 1\). Bezeichnen \(\theta_1,\dots, \theta_n\) die in \(0 < \theta < \pi\) fallenden und nach der Größe geordneten Wurzeln der Gleichung \(P_n (\cos \theta) = 0\), so ist \[ \frac {k - \frac 12} {n} \pi < \theta_k < \frac k{n+1}\pi \quad \left( k = 1, 2, \dots n^\prime;n^\prime = \left[ \frac {n+1}2 \right] \right). \] Zum Beweise stellt Verf. die \(a_m\) als \textit{Stieltjes}sche Momente und dadurch die \(P_n (\cos \theta)\) als Doppelintegrale dar. Für die Abschnitte (1) der in \(| z | < 1\) konvergenten Potenzreihe (2) gewinnt er die Ungleichungen \[ |F(z) | \geqq |F(z)-s_0 (z) | \geqq \cdots \geqq |F(z)-s_n (z) | \geqq \cdots. \] (III 3.)