Séries lacunaires. (Exposés sur la théorie des fonctions. II.) (Q2607482)

Eine analytische Funktion \(f (z)\) ist in ihrem Verlauf vollständig festgelegt, wenn ihr Element \[ \sum_{n=0}^\infty a_n (z- z_0)^n \tag{1} \] für eine einzige Stelle \(z_0\) gegeben ist. Die Koeffizientenfolge \((a_n)\) des Elements muß also insbesondere die Lage und Natur der Singularitäten der Funktion bestimmen. Die dadurch nahegelegte Aufgabe, für ein Element (1) von endlichem Konvergenzradius tatsächlich auf Grund gewisser Eigenschaften der Folge \((a_n)\) Aussagen über die Singularitäten von \(f(z)\) zu machen, ist zuerst von \textit{Hadamard} mit Erfolg angegriffen worden. Die von ihm zugrunde gelegte Eigenschaft der Folge \((a_n)\) ist das Auftreten hinreichend großer Lücken. Seitdem ist der Einfluß des Auftretens von Lücken in der Folge \((a_n)\) auf das Verhalten von \(f (z)\) vielfach untersucht worden. Ein Teil der Ergebnisse ist zugleich auf andere Funktionenreihen, insbesondere \textit{Dirichlet}sche Reihen \[ \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-\lambda_n s} \qquad (0 \leqq \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n < \cdots, \;\lambda_n \to \infty) \tag{2} \] mit endlicher Konvergenzabszisse, übertragen worden; im letzteren Falle handelt es sich allgemein darum, aus der Verteilung der Exponenten \(\lambda_n\) Schlüsse auf die Singularitäten der durch (2) definierten Funktion zu ziehen. Entsprechende Zusammenhänge bestehen bei einer ganzen Funktion \[ \sum_{n=0}^\infty a_nz^n \] zwischen der Koeffizientenfolge \((a_n)\) und der Verteilung der \textit{Julia}schen Richtungen der Funktion, und auch hier ist wieder die Erweiterung auf \textit{Dirichlet}sche Reihen möglich. Es ist das Ziel des vorliegenden Hefts, einen Überblick über die Ergebnisse der damit gekennzeichneten Untersuchungen zu geben. Die Beweise sind, soweit sie dem Verf. von allgemeinerem Interesse zu sein scheinen, in ihren Grundzügen wiedergegeben. Inhaltsverzeichnis: \ I. \ Théorème de M. Hadamard. \ II. \ Théorèmes généraux sur les séries de Dirichlet. Points singuliers et droites \(\overline{J}\). \ III. \ Influence de la densité des exposants sur la distribution des points singuliers. \ IV. \ Influence des lacunes sur la nature des singularités. \ V. \ Suites complémentaires d'exposants. Influence de la nature arithmétique des exposants sur la distribution des singularités. \ \ (IV 4 D, F.)