Neue Beweise der Überkonvergenzsätze für Potenzreihen und Dirichletsche Reihen. (Q2607483)

Der \textit{spezielle Ostrowskische Überkonvergenzsatz} (Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 1 (1922), 327-350; F. d. M. 48, 372 (JFM 48.0372.*)-373) liefert eine Klasse analytischer Funktionen mit schlichtem, einfach zusammenhängendem Regularitätsbereich; er lautet: Die Potenzreihe \[ f(z) = \sum_0^\infty a_n z^n \tag{1} \] mit endlichem Konvergenzradius \(\varrho\) weise eine unendliche Folge von Lücken \[ (\mu_1, \nu_1), (\mu_2, \nu_2), \dots, (\mu_\tau, \nu_\tau), \dots \] auf (d. h. es sei \(a_n = 0\) für \(\mu_\tau < n < \nu_\tau\) und \(\tau = 1, 2,\dots \)), deren Relativbreiten \[ \frac {\nu_\tau - \mu_\tau}{\mu_\tau} \to \infty \tag{2} \] streben für \(\tau \to \infty\). Setzt man dann \(f_0 (z) = a_{0} + a_{ 1} z + \cdots + a_{\mu_1}z^{\mu_1}, \) \(f_\tau(z) = a_{\nu_\tau}z^{\nu_\tau} + a_{\nu_\tau + 1} z^{\nu_\tau +1} + \cdots + a_{\mu_{\tau + 1}}z^{ \mu_{\tau + 1}} \qquad (\tau = 1,2, \dots )\), \newline so konvergiert die Polynomreihe \[ \sum_{\tau = 0}^\infty f_\tau (z) \tag{3} \] mit der Summe \(f (z)\) im ganzen Regularitätsbereich von \(f (z)\), und zwar gleichmäßig in einer vollen Umgebung eines jeden Punktes dieses Gebiets. Beim \textit{allgemeinen Ostrowskischen Überkonvergenzsatz} wird aus \[ \frac {\nu_\tau- \mu_\tau}{\mu_\tau} \geqq \vartheta > 0 \qquad (\vartheta \text{ von } \tau \text{ unabhängig}) \tag{\(2^\prime\)} \] statt (2) auf die gleichmäßige Konvergenz von (3) in einer gewissen Umgebung jedes regulären Punktes von \(f (z)\) auf dem Rande des Konvergenzkreises geschlossen. Vollkommen entsprechende Überkonvergenzsätze gelten für \textit{Dirichlet}sche Reihen \(\sum\limits_1^\infty a_n e^{-\lambda_n s}\) mit endlicher Konvergenzabszisse. Zu allen diesen Sätzen gewinnt der Verf. einen neuen Zugang, indem er bei Potenzreihen die Reihe (3), bei \textit{Dirichlet}schen Reihen die entsprechende Reihe in mehrere Polynomreihen aufspaltet und dann jede dieser Reihen in einfacher Weise und ohne Verwendung tiefer liegender Hilfsmittel abschätzt. \ \ (IV 4 D.)