Sur l'interpolation des fonctions analytiques. (Q2607493)

\(D\), \(C\), \(\varOmega(C)\) haben dieselbe Bedeutung wie in den beiden vorhergehenden Referaten. \((a_k)\) sei eine samt ihren Häufungspunkten in \(D\) gelegene Punktmenge. Unter Heranziehung orthogonaler Funktionensysteme einer komplexen Veränderlichen (vgl. die beiden vorstehend besprochenen Noten des Verf.) wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür angegeben, daß eine durch die Werte \(f(a_k)\) \((k = 0, 1, 2, \dots)\) definierte analytische Funktion \(f(z)\) zu \(\varOmega(C)\) gehört. Für den Fall, daß diese Bedingung erfüllt ist, wird weiter für \(f(z)\) eine Darstellung der Form \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \chi_n(z) \, \sum_{k=0}^n r_{nk} f(a_k) \] angegeben, die längs \(C\) im Mittel, in jedem inneren Teilbereich von \(D\) absolut und gleichmäßig konvergiert; dabei hängen die Koeffizienten \(r_{nk}\) und die Funktionen \(\chi_n(z)\) nur von \(C\) und der Folge \((a_k)\) ab. Fallen die Punkte \(a_k\) alle in einen Punkt \(a\) zusammen, so ist \(f(a_k)\) durch \(\dfrac{1}{k!}\,f^{(k)}(a)\) zu ersetzen; es ergibt sich dann ein vom Verf. bereits früher gewonnenes Resultat (vgl. C. R. Acad. Sci., Paris, 188 (1929), 607-609; F. d. M. \(55_{\text{I}}\) 179).