Sur la convergence de certaines suites de polynomes. (Q2607495)

Verf. bestimmt einige Gebiete, in denen die im vorigen Referat genannten Polynome \(B_n f(x)\) beschränkt sind. Daraus folgt ihre Konvergenz gegen die (reguläre) Funktion \(f(z)\). Verf. gewinnt die Abschätzungen aus der Entwicklung der \(B_n f(x)\) nach Potenzen von \(x\) bzw. von \(x - c\), wobei \(c\) auf der Strecke \(0, 1\) liegt. Daneben betrachtet er auch die Polynome \[ B_n(f(x), b) = \sum_{m=0}^n f\left(b\frac mn\right)\, C_n^m\left(\frac xb\right)^m \left(1 - \frac xb\right)^{n-m}. \] Besonderes Interesse verdient die Folge \[ A_n f(x) = \lim_{b\to 0} B_n(f(x), b) \] \[ = f(0) + x f^\prime(0)+ \cdots + \frac{x^k}{k!} \left(1-\frac 1n\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) f^{(k)}(0) + \cdots + \frac{x^n}{n^n}f^{(n)}(0), \] deren gleichmäßige Konvergenz gegen \(f(x)\) unter gewissen Voraussetzungen bewiesen wird. Denkt man sich nämlich \(f(x)\) als Potenzreihe gegeben, so geben die \(A_n f(x)\) eine analytische Fortsetzung von \(f(x)\) über die regulären Punkte des Konvergenzkreises hinaus.