The almost periodic behavior of the function \(1/\zeta(1 + it)\). (Q2607512)

Verf. beweist für die \textit{Riemann}sche \(\zeta\)-Funktion: \[ \lim_{q\to \infty} \mathfrak M \left\{\left| \sum_{n=1}^q \frac{\mu(n)}{n^{1+it}} - \frac{1}{\zeta(1+it)}\right|^2 \right\} = 0 \] (\(\mu (n)\) ist die zahlentheoretische Funktion von \textit{Moebius}) mit der in der Theorie der fastperiodischen Funktionen üblichen Bezeichnung: \[ \mathfrak M\{f(t)\}= \lim_{T\to\infty} \frac 1T \int\limits f(t)\, dt. \] Hieraus folgt, daß \(\dfrac{1}{\zeta(1 + it)}\) eine fastperiodische Funktion ist, und es ist \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} e^{-it\,\log\, n} \] ihre \textit{Fourier}reihe, d. h. es ist \[ \mathfrak M \left\{ e^{i\lambda t} \cdot \frac{1}{\zeta(1+it)}\right\} = 0 \;\text{ oder } \;= \frac{\mu(n)}{n}, \] je nachdem \(\lambda \neq \log\, n\) oder \(\lambda = \log\, n\). Speziell ist also \[ \mathfrak M \left\{\frac{1}{\zeta(1+it)}\right\} = 1. \] Von den tiefer liegenden bekannten Resultaten benutzt Verf. die beiden folgenden: \[ \sum_{n=1}^x \mu(n) = O\left(\frac{x}{\log^5 x}\right) \;\text{ und } \;\frac{1}{\zeta(1+it)} = O(\log\, t) \] (also keineswegs die besten bekannten Abschätzungen).