On zeros of the function \(\zeta(s)\). (Q2607524)

Die diophantischen Approximationen haben sich als das machtvollste Instrument zur Erforschung der Zetafunktion erwiesen. Jeder Fortschritt auf diesem von \textit{Weyl} inaugurierten Gebiete wird die Kenntnis von \(\zeta(s)\) erweitern. \textit{Vinogradow} (On Weyl's sums, Rec. math. Moscou 42 (1935), 521-530; F. d. M. \(61_{\text{II}}\)) hat nun folgenden Satz bewiesen: Es sei \[ \begin{matrix} f(x) = \sum\limits_0^n a_\varrho x^\varrho, \;a \text{ reell}, \;a_n = \dfrac aq + \theta q^{-2+\nu^2}, \;\;(a, q) = 1, \;\;|\theta| \leqq 1, \;\;\nu = \dfrac 1n, \;\;n \geqq 20, \\ Q, P \;\text{ ganz}, \;\;0 < P \leqq c_0P_1, \;\;c_1 \geqq 1. \end{matrix} \] Dann ist \[ \sum_{Q+1}^{Q+P} e^{2\pi i f(x)} \leqq C(n) P_1 q^{-\sigma}, \] wo \[ P_1 = q^{\frac{2}{2n-1}}, \quad \sigma = \frac{\nu^7}{45(\log\, n + 1)^2} \quad (\text{oder } \;\sigma = c_1 \nu^8). \] Daraus leitet Verf. für \(\zeta(s)\) eine schon lange gewünschte Vergrößerung des \textit{Hardy-Littlewood}schen nullstellenfreien Gebietes links von \(\sigma = 1\) her, nämlich \[ \sigma = 1 - c_1 (\log\, t)^{-\gamma}, \quad \frac 78 < \gamma < 1. \] Das erlaubt bekanntlich auch verschärfte Aussagen über die Primzahlverteilung, z. B. \[ \psi(x+h) - \psi(x) = h + o(h) \;\text{ für } \;h \geqq x^{\frac 34 + \varepsilon}. \] (III 6.)