Integral functions with real zeros. (Q2607548)

Es sei \[ f(x) = 1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots \qquad (a_n \;\text{ reell}) \] eine ganze Funktion von endlichem Geschlecht, deren Nullstellen alle reell seien. Die Division von \(f(x)\) durch eine zweite ganze Funktion \[ \varPhi_1(x) = 1 + b_{11}x + b_{12}x^2 + \cdots + b_{1n}x^n + \cdots \qquad (b_{1n} \;\text{ reell}) \] liefert \[ \begin{matrix} \r \\ f(x) = (1 - g_1x)(1 + b_{11}x + \cdots + b_{1n}x^n + \cdots) \\ -m_1x^2 (1 + c_{11}x + \cdots + c_{1n}x^n + \cdots) \end{matrix} \] mit \[ g_1 = b_{11} - a_1, \quad m_1 = b_{12} - a_2 - b_{11} g_1; \] dabei ist \(m_1 = 0\) vorausgesetzt. Wird sodann die ganze Funktion \[ \varPhi_2(x) = 1 + b_{21}x + \cdots + b_{2n}x^n + \cdots = (1-g_1x)(1 + c_{11}x + \cdots + c_{1n}x^n + \cdots) \] als Divisor von \(f(x)\) gewählt, so erhält man entsprechend \[ \begin{matrix} \r \\ f(x) = (1 - g_2x)(1 + b_{21}x + \cdots + b_{2n}x^n + \cdots) \\ -m_2x^2 (1 + c_{21}x + \cdots + c_{2n}x^n + \cdots) \end{matrix} \] mit \[ g_2 = b_{21} - a_1, \quad m_2 = b_{22} - a_2 - b_{21} g_2; \] dabei ist \(m_2 \neq 0\) vorausgesetzt. Verf. zeigt, daß bei passender Wahl des Divisors \(\varPhi_1(x)\) alle \(m_r\) \((r = 1, 2, \dots)\) positiv werden, das Verfahren also unbegrenzt fortsetzbar ist. Man erhält dann zwei reelle Zahlenfolgen \[ (g_1, g_2, \dots, g_r, \dots) \quad \text{ und } \quad (m_1, m_2, \dots, m_r, \dots), \] von denen \(m_r\) monoton gegen einen Grenzwert m wächst, während \(g_r\) gegen Grenzwerte \(g\) \ bzw. \ \(g^\prime\) strebt, wenn \(r\) durch ungerade bzw. gerade Werte gegen \(\infty\) geht. Die Wurzeln der mit diesen Grenzwerten gebildeten Gleichung \[ (x-g)(x-g^\prime) - m = 0 \tag{*} \] sind die reziproken Werte der kleinsten positiven und der absolut kleinsten negativen Nullstelle von \(f(x)\). Sind die Nullstellen von \(f(x)\) alle positiv oder alle negativ, so ist eine Wurzel von (*) gleich Null. (Vgl. auch \textit{G. S. Le Beau}, Proc. London math. Soc. 41 (1936), 77-85; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 210.)