On entire functions with gaps. (Q2607565)

Es wird der folgende Satz bewiesen: Es sei \[ f(z) = \sum_0^\infty a_{n_k} z^{n_k} \quad \text{ mit } n_{k+1} - n_k \to \infty \] eine ganze Funktion. Dann ist \(f (z)\) in jedem Winkelraum von gleicher Ordnung und gleichem Typus wie in der ganzen Ebene. Jeder Strahl durch den Nullpunkt ist ein \textit{Julia}-Strahl. Der sehr einfache Beweis beruht auf der Ungleichung \[ \int\limits_0^{2\pi} |P (\vartheta ) |^2 \, d \vartheta \leqq \frac {16 \pi^3}{\beta - \alpha} \int\limits_\alpha^\beta |P (\vartheta ) |^2 \, d \vartheta, \qquad \beta - \alpha = \frac {16 \pi}L \] für trigonometrische Polynome \(P( \vartheta) = \sum a_{n_k} e^{i n_k \vartheta}\), \(n_{k+1} - n_k \geqq L\). Es wird noch eine Verallgemeinerung auf ganze \textit{Dirichlet}sche Reihen mit entsprechender Lückenbedingung gegeben. (Vgl. \textit{Mandelbrojt-Gergen}, Amer. J. Math. 53 (1931), 1-14; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 377.)