Über den Wertevorrat einer analytischen Funktion, von der zwei Werte vorgegeben sind. (Q2607595)

Verf. verallgemeinert die in zwei früheren Arbeiten (Schr. Königsberger gel. Ges., naturw. Abt. 8 (1931), 1-31; Math. Z. 37 (1933), 210-236; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 367; \(59_{\text{I}}\), 322-323) angewendete ``negative Handhabung'' des \textit{Lindelöf}schen Prinzips. Wie dort, handelt es sich auch jetzt darum, zu erkennen, daß eine gewisse Majorantenbeziehung etwa für zwei im Einheitskreise meromorphe Funktionen \(\varphi (z)\) und \(\varPhi (z)\) \[ \varphi(z) \prec \varPhi(z) \tag{*} \] \textit{nicht} bestehen kann, woraus folgt, daß der Wertevorrat von \(\varphi\) über die durch \(\varPhi\) entworfene Bildfläche hinausgreift. Die Unmöglichkeit von (*) folgte früher aus der Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitung von \(\varphi\) und \(\varPhi\) in einem Punkte; sie folgt jetzt aus der Übereinstimmung der Funktionswerte in zwei verschiedenen Punkten, etwa in 0 und \(\zeta\) mit \(0 < \zeta < 1\). Dabei muß aber noch gefordert werden, daß \(\varPhi(z)\) (das als im kleinen schlicht vorausgesetzt wird) den Wert \(\varphi(\zeta)\) in \(\zeta\) ``zum ersten Male'' annehme, d. h., daß \(\varPhi(z) \neq \varPhi(\zeta)\) für \(|z| < \zeta\). Auf die Einzelheiten der Arbeit, die hauptsächlich in Beispielen zu diesem Prinzip bestehen, kann hier nicht eingegangen werden. Von allgemeiner Bedeutung für die Untersuchungen ist wieder ein Satz, der dem in dem ersten der oben zitierten Referate genannten \textit{Landau}schen Satze analog ist. Die Wertemenge, die von allen Funktionen der betrachteten Klasse, nämlich von den Funktionen \(\varphi(z)\) mit \(|\varphi(z )| < M\), \(\varphi(0) = 0\), \(\varphi(\zeta) = 1\) (ausgenommen von den Extremalfunktionen) angenommen wird, weist hier eine komplizierte Gestalt auf, die eingehend diskutiert wird.