On the Lebesgue class of integral functions along straight lines issuing from the origin. (Q2607599)

Es sei \(f(z)\) in einem Winkel \(A{:} \;|\arg z|\leqq\dfrac{\pi}{2k}\) regulär und auf dessen Seiten \(\leqq 1\). Gilt dann \[ \varliminf_{r\to\infty}\frac{\log M(r)}{r^k}\leqq 0, \tag{1} \] wobei \(M (r)\) das Maximum von \(|f(z)|\) auf dem Bogen \(|z|=r\), \(|\arg z|\leqq\dfrac{\pi}{2k}\), so ist \(|f(z)|\) im ganzen Winkel \(\leqq 1\). Nun beweist Verf. unter der Voraussetzung (1) folgendes: Existiert (auch im \textit{Lebesgue}schen Sinne) das längs der Seiten von \(A\) genommene Integral \[ \int\limits_0^\infty |f(z)|^p|dz|, \] so gilt das für jeden Strahl, der innerhalb von \(A\) verläuft. Man vgl. auch die Arbeit von \textit{Hardy-Ingham-Pólya} in den Proc. R. Soc. London A 113 (1927), 552-569 (F. d. M. 53, 304-306). (IV 4 F.)