On the theory of univalent functions. (Q2607603)

Die vorliegende Arbeit behandelt die allgemeine Klasse der im Einheitskreise schlichten Funktionen \[ f(z)=z+\sum_{n=2}^\infty a_nz^n \] und vorwiegend einige Unterklassen. Nach einer Einleitung in \S\ 1 bringt \S\ 2 eine Approximation der allgemeinen schlichten Funktion durch polygonale Funktionen. Es folgen Anwendungen auf konvexe und sternige sowie auf mehrfach symmetrische solche Funktionen, die zum Teil Bekanntes enthalten. Erwähnt sei: Ist \(f_p (z)\) \(p\)-fach symmetrisch und sternförmig im Einheitskreis, so ist \[ \mathfrak R\left(\frac{f_p(z)}{z}\right)^{\tfrac p2}\geqq\frac12. \] In \S\ 3 wird eine Konvexitäts- und eine Sternigkeitsordnung eingeführt. \(f (z)\) heißt konvex von der Ordnung \(\varrho\geqq 0\), wenn \[ \mathfrak R\left(\frac{zf''(z)}{f'(z)}+1\right)\geqq\varrho \] für \(|z| < 1\) ist, und analog ist die Sternigkeitsordnung definiert. Bekannte Verzerrungssätze für schlechthin konvexe und sternige Funktionen werden für solche einer bestimmten Ordnung \(\alpha > 0\) verschärft. -- In \S\ 4 wird das funktionentheoretische Majorantenprinzip nutzbar gemacht; der angedeutete Beweis für den \(\frac14\)-Satz (p. 387-388) ist freilich zu einfach, um richtig sein zu können. -\S\ 5 behandelt die ``in Richtung der imaginären Achse konvexen'' Funktionen, das sind diejenigen, die den Einheitskreis auf einen Bereich abbilden, dessen Rand von jeder Parallelen zur imaginären Achse in höchstens zwei Punkten getroffen wird. Sie stehen zur Klasse der Funktionen, die den Einheitskreis so abbilden, daß das Bild jedes Kreises \(| z | = r\) (\(0 < r < 1\)) von der reellen Achse in höchstens zwei Punkten getroffen wird, in derselben Beziehung wie die konvexen Funktionen zu den sternförmigen. Es werden eine Reihe der für andere Funktionsklassen bekannten Sätze auf die neue Klasse übertragen unter der weiteren Voraussetzung, daß die Koeffizienten reell sind. -\S\ 6 enthält Beiträge zum Koeffizientenproblem der schlichten Funktionen. Es werden zunächst Funktionen betrachtet, die auf dem Rande des Einheitskreises noch meromorph sind. Wenn dort z. B. keine Pole von höherer als erster Ordnung zugelassen sind, so sind die Koeffizienten beschränkt. -- Durch Weiterführung der \textit{Littlewood-Landau}schen Methode (vgl. \textit{Landau}, Math. Z. 30 (1929), 635-638; F. d. M. \(55_{\text I}\), 187) findet Verf. ferner für schlichte \(f(z)\): \[ \varliminf \left|\frac{a_n}n\right|\leqq 1+\frac2\pi. \] -- In \S\ 7 endlich werden die Teilsummen der Potenzreihen verschiedener vorher betrachteter Funktionsklassen daraufhin untersucht, in welchem konzentrischen Teilkreis des Einheitskreises ihnen dieselbe Eigenschaft zukommt wie der Ausgangsfunktion. Es wird für mehrere solcher Klassen festgestellt, daß dies für die \(n\)-te Teilsumme von einem gewissen \(n\) an zutrifft im Kreise mit dem Radius \[ R_n=1-2\frac{\log }n, \] wo 2 durch keine kleinere Konstante ersetzt werden kann. (IV 4 H.)