Sur la représentation conforme des domaines linéairement accessibles. (Q2607606)

Verf. betrachtet eine neue Unterklasse der schlichten Abbildungen \[ w (z) = z + a_2z^2 +\cdots \] des Einheitskreises \(|z| < 1\), die die sternigen Abbildungen als Sonderfall umfaßt. Ein Gebiet \(\mathfrak L\) heiße im engeren Sinne linear zugänglich (linéairement accessible au sens strict), wenn die Menge aller nicht inneren Punkte aus einer Schar abgeschlossener Halbgeraden besteht, von denen je zwei sich nicht schneiden; sie können parallel sein, oder es kann der Endpunkt der einen auf einer andern liegen. Bei den sternigen Gebieten gehen alle diese Halbgeraden, verlängert, durch einen festen Punkt. Eine wichtige Art von Gebieten, die unter den neuen Begriff fallen, sind diejenigen, deren Rand von den Geraden eines Parallelenbüschels in höchstens je zwei Punkten geschnitten wird. Nun wird nach dem Wertevorrat \(\varDelta_r\) von \(z : w (z)\) bei festem \(z\) mit \(|z|= r < 1\) gefragt, wenn \(w(z)\) alle schlichten Abbildungen des Einheitskreises auf Gebiete \(\mathfrak L\) der oben beschriebenen Klasse durchläuft. \(\varDelta_r\) ist jene Punktmenge, welche der Ausdruck \[ u=\frac{(1+s)^2}{1+\frac12(s+t)} \] überstreicht, wenn \(s\) und \(t\) unabhängig den abgeschlossenen Kreis vom Halbmesser \(r\) durchlaufen. Den Randpunkten von \(\varDelta_r\) entsprechen Schlitzgebiete \(\mathfrak L\), die aus der Vollebene durch Fortlassen einer Halbgeraden entstehen. Für \(r\to 1\) ergibt sich, daß das \textit{Innere} von \(|u - 1| < 3\) ohne \(u = 0\) überdeckt wird, wobei \(|\arg u|<\dfrac{3\pi}2\) bleibt. Auch ein Satz (und das Beweisverfahren) von \textit{Marx} (S.-B. Preuß. Akad. Wiss., phys.-math. Kl. 1929, 96-100; F. d. M. \(55_{\text I}\), 210) über den Wertevorrat \(\overline\varDelta_r\) des Ausdrucks \[ v=\frac{zw'(z)}{w(z)} \] kann auf die genannte Funktionenklasse ausgedehnt werden. \(\overline\varDelta_r\) geht aus \(\varDelta_r\) durch Streckung vom Ursprung aus im Verhältnis \(1 : (1 - r^2)\) hervor. (IV 4 H.)