Zum Umkehrproblem der Wertverteihmgslehre. (Vorläufige Mitteilung.) (Q2607641)

Unter dem Umkehrproblem der Wertverteilungslehre versteht Verf. das Problem, zu vorgegebenen Stellen \(a_k\) (\(k = 1, 2,\ldots\)) und vorgegebenen positiven Werten \(\delta_k\), \(\varepsilon_k\) mit \(\delta_k+\varepsilon_k\leqq 1\), \(\sum(\delta_k+\varepsilon_k)\leqq 2\) eine meromorphe Funktion \(f(z)\) zu finden, für die \(a_k\) den Defekt \(\delta_k\) und den Verzweigungsindex \(\varepsilon_k\) aufweist. Man muß sich dabei vorläufig auf endlich viele \(a_k\) beschränken. Für den Fall, daß alle \(\varepsilon_k\) verschwinden, ist die Aufgabe durch Arbeiten von \textit{R. Nevanlinna} (Über Riemannsche Flächen mit endlich vielen Windungspunkten, Acta math., Uppsala, 58 (1932), 295-373; F. d. M. 58) und \textit{G. Elfving} (Acta Soc. Sci. Fennicae (2) A 2, Nr. 3; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1034-1036) durch die Umkehrung der Uniformisierenden gewisser \textit{Riemann}scher Flächen gelöst worden (unter der nicht sehr erheblichen Einschränkung, daß die \(\delta_k\) rational sind). Verf. kündigt hier die Lösung für den Fall auch positiver \(\varepsilon_k\) an. Bezeichnet \(\nu(z)\) eine Funktion, die auf eine \textit{Riemann}sche Fläche mit endlich vielen logarithmischen Windungspunkten abbildet (\textit{R. Nevanlinna}, loc. cit.), so geht Verf. aus von Funktionen \(R(\nu(z))\), wo \(R(u)\) eine rationale Funktion ist. In dem die Bildfläche von \(R(\nu(z))\) darstellenden Streckenkomplex treten dabei an Stelle der logarithmischen Enden des zur Bildfläche von \(\nu(z)\) gehörigen Komplexes allgemeinere ``periodische Enden'', die durch periodische Wiederholung eines Komplexes \(\mathfrak v'\) entstehen, der in einfachem Zusammenhang mit dem Komplex \(\mathfrak v\) steht, der die durch \(R(u)\) erzeugte Fläche wiedergibt. Die so entstehenden periodischen Enden rühren alle von demselben \(\mathfrak v'\) her (können aber trotzdem sehr verschiedenartig ausfallen). Wenn man sich von dieser Einschränkung befreit, so kommt man zu einer hinlänglich allgemeinen Flächenklasse, um das allgemeine Umkehrproblem in demselben Sinne beantworten zu können, wie \textit{R. Nevanlinna} und \textit{Elfving} es in dem speziellen Falle beantwortet hatten. Es ergibt sich dabei folgendes neue Typenkriterium: Die \textit{Riemann}schen Flächen mit endlich vielen periodischen Enden gehören zum Grenzpunkttypus. (IV 4 F.)