Sur une fonction homogène de deux variables jouissant d'une propriété extrémale. (Q2607663)

Ist \(E\) eine abgeschlossene und beschränkte Punktmenge im Raume \(R_2\) der zwei reellen oder komplexen Veränderlichen \(x\), \(y\), so konstruiert Verf. eine Funktion \(t(x, y)\), die folgende charakteristische Eigenschaften hat: 1) \(t(x, y)\) ist überall in \(R_2\) definiert und nicht negativ, und auf \(E\) ist \(t (x, y) \leqq 1\); 2) sie ist homogen vom Grade 1, d. h. für jedes reelle oder komplexe \(\lambda\) gilt: \[ t(\lambda x,\lambda y)=|\lambda|t(x,y); \] 3) ist \(P_n(x, y) = \sum\limits_{\nu=1}^n a_{\nu,n-\nu} x^\nu y^{n-\nu}\) (\(n=1, 2,\ldots,)\) eine Folge von auf \(E\) gleichmäßig beschränkten homogenen Polynomen, so gilt in jedem Punkt \((x, y)\) des \(R_2\): \[ \limsup_{n\to\infty}\root n\of{|P_n(x,y)|}\leqq t (x, y). \] Daraus folgt insbesondere, daß eine Reihe in homogenen Polynomen \(\sum P_n (x, y),\) die auf \(E\) beschränkt ist, überall konvergiert, wo \(t(x, y) < 1\) gilt, und zwar gleichmäßig für alle \((x, y)\) mit \(t (x, y) < \varrho < 1\). Die Konstruktion von \(t(x, y)\) erfolgt in analoger Weise wie in einer früheren Arbeit des Verf. die der \textit{Green}schen Funktion zu dem Außengebiet einer ebenen abgeschlossenen und beschränkten Punktmenge von positivem transfinitem Durchmesser (Ann. Soc. Polonaise Math. 12 (1934), 57-71; F. d. M. \(61_{\text I}\), 356), wobei jedoch nur die mittels der \textit{Lagrange}schen Polynome gebildete Folge herangezogen wird. Wenn der ``écart transfini'' \(\theta (E)\) von \(E\) (vgl. Verf., Bull. Acad. Polonaise Sei. Lett., Cl. Sci. math. nat. A 1933 (1934), 453-461; F. d. M. \(60_{\text I}\), 186) positiv ist, so ist \(t(x,y)\) überall endlich, andernfalls ist sie für \((x, y)\notin E\) unendlich. Bei \(\theta(E)>0\) enthält die Punktmenge mit \(t(x, y) < 1\) immer eine gewisse Umgebung des Nullpunktes, in dem stets \(t (x, y) = 0\) gilt.