On some Hermitian forms associated with two given curves of the complex plane. (Q2607689)

Verf. betrachtet die Menge der Polynome vom Grade \(n\), die in einem einfachzusammenhängenden Bereich \(E\) der \(z\)-Ebene, dessen Berandung eine rektifizierbare \textit{Jordan}kurve der Länge \(l\) bildet, der Bedingung \[ \{l^{-1}\int\limits_C|f(z)|^2|dz|\}^{\frac12}\leqq 1 \] genügen. Ist \(E'\) ein anderer ebensolcher Bereich der \(z\)-Ebene und \(C'\) (Länge \(l'\)) seine Randkurve, so kann man nach dem Maximum \(M_n(C, C')\) des analogen, zu \(E'\) gehörenden Mittels \textit{derselben} Polynome fragen. Unter Benutzung der zu \(C'\) gehörenden \textit{Szegö}schen Polynome \(q_\nu(x)\) (Math. Z. 9 (1921), 218-270; F. d. M. 48, 374 (JFM 48.0374.*)-376) wird \[ M_n^2=\max\sum_{\mu,\nu=0}^n x_\mu\bar x_\nu(l')^{-1}\int\limits_{C'} q_\mu\overline{q_\nu(z)}|dz|, \] wenn die Veränderlichen \(x_\nu\) der Bedingung \(\sum\limits_{\nu=0}^n|x_\nu|^2\leqq 1\) genügen. \(M^2_n\) ist also der größte Eigenwert der rechts stehenden \textit{Hermite}schen Form. Verf. behandelt zunächst den interessanten Spezialfall, daß \(C\) ein endliches reelles Intervall und \(C'\) der Einheitskreis ist, wobei sich die Polynome \(q_\nu(x)\) explizit angeben lassen (normierte \textit{Legendre}sche Polynome). Im Falle des Intervalls \(\langle- 1, 1\rangle\) ergibt sich die asymptotische Darstellung \[ M_n\cong 2^{-\frac98}\pi^{-\frac34}n^{-\frac14}(2^{\frac12}+1)^{n+\frac32}. \] Der als Grenzwert von \(M_n^{\tfrac1n}\) sich ergebende Wert \((2^{\frac12}+ 1)\) hat eine einfache geometrische Bedeutung. Man kann das Resultat auch so aussprechen: Für den kleinsten Eigenwert \(\lambda_n\) der quadratischen Form \[ \frac12\int\limits_{-1}^1(x_0+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt= \sum_{\substack{\mu,\nu=0\\ \mu+\nu \;\text{gerade}}}^n \frac{x_\mu x_\nu}{\mu+\nu+1} \] ist \[ \lambda_n\cong 2^{\frac94}\pi^{\frac32}n^{\frac12}(2^{\frac12}-1)^{2n+3}, \] da \(\lambda_n=M_n^{-2}\) ist. Für die Form \[ \int\limits_0^1(x_0+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt= \sum_{\mu,\nu=0}^n \frac{x_\mu x_\nu}{\mu+\nu+1} \] ergibt sich \[ \lambda_n\cong 2^{\frac{15}4}\pi^{\frac32}n^{\frac12}(2^{\frac12}-1)^{4n+4}. \] Aber auch den Fall des unendlichen Intervalls behandelt Verf., wobei aus Konvergenzgründen die Einführung einer geeigneten Belastungsfunktion nötig wird. Für \[ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-t^2}(x_0+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt= \sum_{\substack{\mu,\nu=0\\ \mu+\nu \;\text{gerade}}}^n \varGamma(\tfrac12(\mu+\nu+1))x_\mu x_\nu \] und \[ \int\limits_{0}^\infty e^{-t}(x_0+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt= \sum_{\mu,\nu=0}^n (\mu+\nu)!x_\mu x_\nu \] ergibt sich unter Benutzung asymptotischer Eigenschaften der \textit{Hermite}schen und \textit{Laguerre}schen Polynome \[ \lambda_n\cong 2^{\frac{13}4}\pi^{\frac32}en^{\frac14}e^{-2(2n)^\frac12} \quad \text{und} \quad \lambda_n\cong 2^{\frac32}\pi^{\mathfrak32}en^{\frac14}e^{-4n^\frac12}. \]