Inequalities for the zeros of Legendre polynomials and related functions. (Q2607720)

Im ersten Teil der Arbeit wendet Verf. die \textit{Sturm}sche Methode auf die \textit{Legendre}schen und die ultrasphärischen Polynome sowie die \textit{Bessel}schen Funktionen an. Durch geschickte Wahl der Vergleichsfunktionen gelingt es, bekannte Ungleichungen für die Nullstellen \(\theta_i\) von \(P_n(\cos\theta)\) abzuleiten, z. B. \[ \frac{i-\frac12}{n+\frac12}\pi<\theta_i<\frac{i}{n+\frac12}\pi \qquad (i=1,2,\ldots,n). \] (\textit{Bruns}, J. reine angew. Math. 90 (1881), 322-328; F. d. M. 13, 391-392), und zu verbessern (vgl. das folgende Referat), auch die Nullstellen von \(P^{(\mu)}_n(\cos \theta)\) durch die Nullstellen \(j_\lambda\) von \(\theta^{\frac12} J_\lambda(\theta)\) abzuschätzen; z. B. für \(\mu=\frac12\), \(\lambda=0\) gilt: \[ \frac{j_{i-1}}{n+\frac12}<\theta_i<\frac{j_i}{n+\frac12}\qquad (i=1,2,\ldots,n). \] Im zweiten Teil zeigt Verf. unter Benutzung des \textit{Fejér}schen Ergebnisses \[ \sum_{i=0}^m\sin\frac{2i+1}2t\geqq0\qquad (0<t<2\pi), \] daß die Nullstellen des Ausdrucks \(\sum\limits_{i=0}^m\lambda_i\cos(m-i)t\) im Intervall \(0 < t<\pi\) so verteilt sind, daß im Inneren von \[ \left(\frac{\mu-\frac12}{m+\frac12}\pi,\frac{\mu+\frac12}{m+\frac12}\pi\right) \qquad (\mu=1,2,\ldots,m) \] genau eine liegt. (Es ist \(\lambda_0 >\lambda_1\geqq\lambda_2\geqq\cdots\geqq\lambda_m\geqq 0\).) Entsprechendes gilt für drei ähnliche Ausdrücke. -Diese Sätze lassen einige Anwendungen zu.