The final problem: An account of the mock theta functions. (Q2607767)

Die von \textit{Ramanujan} eingeführten ``mock theta''-Funktionen sind für \(|q| <1\) regulär und zeigen bei Annäherung an die Punkte \(e^{2\pi i\varrho }\) (\(\varrho \) rational) ähnliches asymptotisches Verhalten wie die elliptischen Thetanullwerte. Verf. gibt zunächst die Aufzeichnungen \textit{Ramanujan}s mit ausführlichen Erläuterungen wieder, dann wendet er sich den von \textit{Ramanujan} als Funktionen dritter Ordnung bezeichneten einfachsten Mock-Thetafunktionen zu. Diese bilden ein System von sieben Funktionen, von denen die drei letzten vom Verf. entdeckt wurden. Beispiele sind \[ \begin{aligned} &f(q)= \sum \frac {q^{n^2}}{(1+q)^2(1+q^2)^2\ldots (1+q^n)^2}, \\ &\omega (q)= \sum \frac {q^{2n(n+1)}}{(1-q)^2(1-q^3)^2(1-q^5)^2\ldots (1-q^{2n+1})^2}. \end{aligned} \] Mit Hilfe einer Formel für Verallgemeinerungen der hypergeometrischen Reihe lassen sich die Reihen für die sieben Funktionen durch geschmeidigere Ausdrücke ersetzen, z.B. \[ f(q)\cdot \prod (1-q^r)= 1+4\sum \frac {(-1)^n\,q^{\frac {n(3n+1)}{2}}}{1+q^n}. \] Aus diesen folgen sechs lineare Beziehungen zwischen den sieben Funktionen und Funktionen, deren Verhalten man beherrscht. Die komplizierteste dieser Beziehungen ist \[ f(q^s)+2q\omega (q) + 2q^3\omega (-q^4)= \vartheta _3(0,q)\,\vartheta _3^2(0,q^2)\,\,\prod (1-q^{4r})^{-2}. \] Das Verhalten bei Annäherung an \(|q| = 1\) ermittelt man, indem man \(q = e^{i\pi\tau }\) setzt und \(\tau \) den Modulsubstitutionen unterwirft. Man kann sich dabei auf \(f (q)\) und \(\omega (q)\) und die Substitution \(\tau '=-\dfrac {1}{\tau }\) beschränken. Es folgt z. B., wenn \(-i\pi\tau =\alpha \) und \(e^{i\pi\tau '}=q_1 \) gesetzt wird, \[ q^{-\frac {1}{24}}f(-q) + \sqrt {\dfrac {\pi }{\alpha }}\,q_1^{-\frac {1}{24}} f(-q_1) = 2\sqrt {\dfrac {6\alpha }{\pi }}\int\limits _o^\infty e^{-\frac {3}{2}\alpha x^2} \,\frac {\text{cosh\,}\dfrac {5}{2} \alpha x + \text{cosh\,}\dfrac {1}{2} \alpha x} {\text{cosh\,}3\alpha x}\,dx; \] das asymptotische Verhalten der rechten Seite für \(\alpha \to 0\) ist leicht feststellbar.