A note on topological groups. (Q2607775)

Ist \(G\) eine \textit{Hausdorff}sche Gruppe (d. h. ein \textit{Hausdorff}scher Raum, dessen Punkte Elemente einer abstrakten Gruppe sind, deren Gruppenoperationen in der Topologie des Raumes stetig sind), so wird gezeigt, daß \(G\) dann und nur dann metrisierbar ist, wenn es das erste \textit{Hausdorff}sche Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Erfüllt \(G\) das erste Abzählbarkeitsaxiom (daß diese Bedingung notwendig ist, ist klar), so hat die Identität 1 von \(G\) ein vollständiges System von Umgebungen \(V_1, V_2,\ldots \) mit den Eigenschaften \(V_k = V_k^{-1}\) und \(V_k^3\subset V_{k-1}\). Ist noch \(V_0=G\), so definiert Verf. zum Beweise des Satzes als Abstand der beiden Punkte den Ausdruck: \[ \varrho (x,y) = \underset{xy^{-1}\in V_k}{\text{Inf}}\,\Bigl(\frac {1}{2}\Bigr)^k. \]