Topological foundations in the theory of continuous transformation groups. (Q2607777)

In der Theorie der kontinuierlichen Gruppen spielt bekanntlich eine große Rolle der Begriff der Gruppe im kleinen, des \textit{Gruppenkeimes}. Besonders, wenn man nichts darüber weiß, ob zum Gruppenkeim auch eine Gruppe (im großen) gehört, ergeben sich allerlei Unannehmlichkeiten. Zur Behebung dieser Schwierigkeiten ist die vorliegende Arbeit ein äußerst wichtiger Beitrag. In einem Raum \(\mathfrak G\) sei für gewisse geordnete Punktepaare ein \textit{Produkt} definiert. Ein \textit{System} offener Mengen \(A_1,\ldots,A_n\) (mit \(n\geqq 2\)) in \(\mathfrak G\) heiße vom \textit{Grade} \(n\), wenn für jede Punktmenge \((a_i)\) mit \(a_i\in A_i\) alle Produkte \[ a_ha_{h+1},\;\;a_ha_{h+1}a_{h+2},\ldots,a_1a_2\cdots a_n \] bei beliebiger Klammersetzung definiert sind. Man stelle nun an \(\mathfrak G\) Anforderungen folgender Art: I. Falls \(ab\), \(ac\), \((ab)\,c\) und \(a\,(bc)\) definiert sind, gelte \((ab)\,c = a\,(bc)\). II. \(ab = a'b\) nur dann, wenn \(a=a'\); \(ab = ab'\) dann und nur dann, wenn \(b= b'\). III. Wenn \(\lim a_n = a\), \(\lim b_n = b\) gilt und \(a_nb_n\) (für alle \(n\)) und ab definiert sind, so sei \(\lim a_nb_n =ab\). IV. In \(\mathfrak G\) gebe es ein \(e\) mit \(ae = ea=a\). V. Es gelte IV, und es gebe ein System \(E\), \(E\) vom Grade 2 mit \(e\in E\). VI. Es gelte IV, und es gebe ein offenes \(H(e\in H)\), dessen Elemente Inverse in \(\mathfrak G\) besitzen; es sei mit \(\lim a_n = a\,(a_n, a \in H)\) auch \(\lim a_n^{-1}=a^{-1}\). Ist \(\mathfrak G\) vom Grade \(\geqq 2\) und gelten I-III, so heißt \(\mathfrak G\) \textit{Semigruppe}. Gelten I, III-VI, und ist \(\mathfrak G\) keine Gruppe, so heißt \(\mathfrak G\) \textit{Partialgruppe} (II gilt dann von selbst). Gilt I, III, IV, V und besitzt \(\mathfrak G\) eine euklidische Umgebung, so ist \(\mathfrak G\) eine Gruppe oder Partialgruppe, wie Verf. beweist. Die \textit{Lie}schen Gruppenkeime sind Partialgruppen. Von einem \textit{Darstellungssystem vom Grade} \(n\) spricht Verf., wenn noch ein Raum \(\mathfrak X\) vorliegt, ferner eine für gewisse Paare \(a\in \mathfrak G\), \(x\in \mathfrak X\) definierte Produktbildung \(ax\in \mathfrak X\) schließlich außer offenen Mengen \(A_i\subset \mathfrak G\) (\(i = 1,\ldots, n\)) noch eine offene Menge \(X\subset \mathfrak X\) und \[ a_nx,\;\;a_{n-1}(a_nx),\ldots,\;a_1\,(a_2\,(\ldots (a_nx)\ldots )) \] definiert sind (\(a_i \in A_i\), \(x\in X\)). I\(_r\). Falls \(ab\), \(bx\) und \(a(bx)\) definiert sind, so sei es auch \(ab\,\cdot\,x\), und es gelte \(a(bx)= ab\,\cdot\,x\). II\(_r\). \(ax = ay\) nur dann, wenn \(x = y\). III\(_r\). Wenn \(\lim a_n = a\), \(\lim x_n = x\) gilt und \(a_nx_n\) (für alle \(n\)) und \(ax\) definiert sind, so gelte \(\lim a_nx_n = ax\). Über diese Bedingungen werden allerlei Untersuchungen angestellt, insbesondere bei \textit{Lie}schen Gruppen. Man nehme nun an, daß in \(\mathfrak G\) noch kein Produkt definiert sei, daß aber folgendes gelte: I\('\). Wenn \(bX\), \(a(bX)\), \(cX\) (\(X\) offen) definiert und \(a(bx)=cx\) für alle \(x\in X\) gilt, so gelte es für alle \(x\), für die beide Seiten definiert sind. II\('\). Zu jedem \(a\in\mathfrak G\) gebe es eine Umgebung, in der \(ax= bx\) (für alle \(x\in X\)) \(a = b\) nach sich zieht. III\('\). Es gebe offene Mengen \(A, B, C, X\) (\(C\) kompakt), für die \(BX\), \(A(BX)\), \(CX\) definiert sind, und mindestens ein \(c\in C\) mit \(a(bx) = cx\) (für alle \(x\in X\)). \textit{Unter diesen Umständen läßt sich \(\mathfrak G\) als Semigruppe mit einem Darstellungssystem \((A^*,B^*,X)\) (\(A^*\subset A\), \(B^*\subset B\)) deuten.} Ein System \((G,\ldots,G;\,x_0)\) einer Gruppe oder Partialgruppe heiße \textit{transitiv} \((e\in G\), wenn \((G\subset H\), \(G^{-1}=G\) gilt und \(Gx_0\) offen ist. Das Hauptergebnis über transitive Darstellungen ist für den Fall einer dargestellten \textit{Gruppe} übrigens nicht neu, was Verf. wohl übersehen hat (siehe \textit{H. Freudenthal}, Math. Z. 33 (1931), 692-713 (JFM 57.0731.*), Satz 19; ferner auch \textit{Freudenthal}, Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 46-56 (folgendes Referat), Nr. 26; Verf. arbeitet im wesentlichen mit derselben Methode). Es lautet: \(\mathfrak G\) \textit{sei halbkompakt} (nach \textit{Freudenthal} genügt Vollständigkeit) und \textit{von zweiter Kategorie}, weiter sei \((G,G,G,\,x_0)\) \textit{ein transitives System}; für \(x = bx_0\) (\(b\in G\)) \textit{und} \(\lim x_n= x\) (\(x_n\in Gx_0\)) \textit{gibt es dann eine Folge} \(b_n\) \textit{mit \(\lim b_n =b\) und} \(b_n x_0 = x_n\) (es gilt also ``Transitivität im kleinen''). \(\mathfrak g\) sei eine \textit{Partialuntergruppe} einer Gruppe \(\mathfrak G\), d. h. \(\mathfrak g^{-1} = \mathfrak g\), \(\mathfrak g\mathfrak g\wedge G = \mathfrak g\wedge G\) für eine geeignete Umgebung \(G\) von \(e\). [\(\mathfrak g\)] sei die Vereinigung der \(\mathfrak g\), \(\mathfrak {gg},\ldots \); \(\mathfrak g\) sei abgeschlossen in \(A\) (offen in \(\mathfrak G\)), [\(\mathfrak g\)] aber nicht; dann heiße \(\mathfrak g\) \textit{rekurrent}, sonst \textit{nicht rekurrent.} \textit{Ist \(\mathfrak g\) nicht rekurrent, so ist \(H\wedge \mathfrak g=H\wedge [\mathfrak g]\) für eine geeignete Umgebung \(H\) von \(e\), und es gibt dann eine Umgebung \(A\subset G\) von e, so daß} (\textit{für alle} \(a\in A\)) \(a[\mathfrak g]\) mit \(A\) \textit{denselben Durchschnitt hat wie die Menge der \(b\) mit} \(ax_0 = bx_0\). (Des Verf. Frage, ob einfach zusammenhängende lineare Gruppen rekurrente Partialuntergruppen besitzen können, läßt sich übrigens leicht bejahend beantworten.) Verf. untersucht weiter die Möglichkeit der \textit{Fortsetzung} einer Gruppendarstellung zu einer \textit{totalen} Darstellung (d. h. \(X = \mathfrak X\)) oder einer total dargestellten Partialgruppe zu einer total dargestellten Gruppe. Für die Möglichkeit der erstgenannten Fortsetzung ist die \textit{Nichtexistenz rekurrenter Untergruppen} entscheidend. Die Anwendungen auf \textit{Lie}sche Gruppen wollen wir unerwähnt lassen. Endlich beschäftigt Verf. sich mit den \textit{Fundamentalgruppen} von \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak X\), wenn \(\mathfrak G\), \(\mathfrak X\) eine totale Darstellung einer \textit{Lie}schen Gruppe ist. Er beweist einen Satz, der bei \textit{E. Cartan} (Mém. Sci. math. 42 (1930; JFM 56.0370.*-371), S. 27) und \textit{Ehresmann} (Ann. Math., Princeton, (2) 35 (1934), 396-443 (JFM 60.1223.*), S. 399) eine Rolle spielt: \(\alpha (t)\) sei ein Weg (\(o\leqq t\leqq 1\)), der in \(e\) beginne und für den \(\alpha (1)x_0 = x_0\) gelte; wenn der Weg \(\alpha (t)x_0\) in \(\mathfrak X\) auf \(x_0\) zusammenziehbar ist, so kann \(\alpha (t)\) in \(\mathfrak g\) (die Untergruppe von \(\mathfrak G\), die aus allen \(a\) mit \(ax_0=x_0\) besteht) hineingezogen werden, derart, daß während der Zusammenziehung stets \(\alpha (0)=e\) und \(\alpha (1)\in\mathfrak g\). Dieser Satz wird angewandt auf des Verf. frühere Ergebnisse (Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1935), 210-229; JFM 61.0625.*).