Almost periodic functions and compact groups. (Q2607781)

Eine Klasse von fastperiodischen (f. p.) Funktionen in einer beliebigen Gruppe \(G\) heißt nach Verf. ein Modul \(\mathfrak M\), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) Aus \(f (x)\), \(g (x)\) in \(\mathfrak M\) folgt: \(f(x) + g(x)\), \(\bar f(x)\) und \(\alpha f(x)\) in \(\mathfrak M\). (2) Aus \(f (x)\) in \(\mathfrak M\) folgt, daß alle \(f(ax)\) und \(f(xa)\) in \(\mathfrak M\) liegen. (3) Mit \(f(x)\) und \(g (x)\) liegt auch \(f (x) g (x)\) in \(\mathfrak M\). (4) Konvergiert die Folge der in \(\mathfrak M\) liegenden Funktionen \(f_n(x)\) (\(n = 1,2,\ldots \)) gleichmäßig gegen \(f(x)\) so liegt auch \(f (x)\) in \(\mathfrak M\). Diesem Modul \(\mathfrak M\) ist eineindeutig zugeordnet der Modul aller irreduziblen Darstellungen von \(G\), die in den Entwicklungen mindestens einer Funktion von \(\mathfrak M\) wirklich vorkommen (siehe \textit{v. Neumann}, Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 445-492 ; JFM 60.0357.*). Ist \(H\) die maximale invariante Untergruppe von \(G\) derart, daß eine komplexwertige Funktion \(f (x)\) auf einer beliebigen Nebengruppe von \(H\) konstant ist, so sind die verschiedenen unter den Funktionen \(f(xay)\) der beiden Variabeln \(x\) und \(y\) in eineindeutiger Beziehung mit den Elementen von \(G/H\). Identifiziert man die Gruppe \(G/H\) mit dieser Funktionenklasse \(f(xay)\), so kann man bei geeigneter Definition einer Metrik im Raum aller komplexwertigen Funktionen zweier Veränderlicher die Hülle \(F\) von \(G/H\) bilden. Ist \(f (x)\) f. p., so ist F kompakt. Zu jeder Gruppe \(G\) und einer fastperiodischen Funktion läßt sich also eine kompakte Gruppe bestimmen, so daß die stetigen Funktionen auf \(F\) f p. Funktionen auf \(G\) bestimmen. Für stetige Funktionen auf einer kompakten Gruppe beweist Verf. folgenden Approximationssatz : Zu der kompakten Grappe \(F\) und einem beliebigen Kern \(\mathfrak U\) (offene Menge, die die Identität enthält) gibt es eine stetige reelle, nichtnegative Funktion \(g (x)\) auf \(F\) mit den Eigenschaften: \[ \begin{matrix} \r&\,\l\\ g(x)&=0\;\;\text{außerhalb von }\,\mathfrak U,\\ M_xg(x)&=1\qquad \;(M_x = \text{Mittel; siehe \textit{v. Neumann})},\\ g(xy)&= g(yx),\;\;\;g(x) = g(x^{-1}),\\ g (x)&= \sum _p a_p\cdot \text{Spur }[D_p (x)],\;\;a_p\geqq 0; \end{matrix} \] \(p\) läuft über die inäquivalenten Klassen der irreduziblen stetigen Darstellungen \(D_p(x)\) von \(F\). Es ist weiter \(a_p = a_q\) für \(D_p(x) = \bar D_q(x)\). Eine stetige Funktion \(f(x)\) auf \(F\) läßt sich dann gleichmäßig durch die Bildungen \(f\times g (x)\) approximieren, falls \(\mathfrak U\) gegen die Identität von \(F\) konvergiert. Die Entwicklung von \(f (x) g (x)\) erweist sich als formales Produkt der Entwicklungen von \(f (x)\) und \(g (x)\) (\(f(x)\) und \(g (x)\) sind f. p.). Aus der Betrachtung der Moduln bei kompakten Gruppen folgt der wichtige Satz: Ist \(\mathfrak U\) ein beliebiger Kern einer kompakten Gruppe \(F\), so enthält \(\mathfrak U\) eine geschlossene invariante Untergruppe \(H\), so daß \(F/H\) eine \textit{Lie}sche Gruppe ist. Ist die kompakte Gruppe \(F\) endüch-dimensional und im kleinen zusammenhängend, so ist \(F\) selbst eine \textit{Lie}sche Gruppe (vgl. \textit{L. Pontrjagin}, C. K. Acad. Sci., Paris, 198 (1934), 238-240; JFM 60.0358.*). Weiterhin werden noch Konvergenzsätze für f. p. Funktionen abgeleitet und unendliche direkte Produkte von kompakten Gruppen untersucht.