Störungstheorie der Spektralzerlegung. I: Analytische Störung der isolierten Punkteigenwerte eines beschränkten Operators. (Q2607829)

In der vorliegenden Arbeit, der ersten aus einer angekündigten Reihe von Arbeiten über die Störungstheorie der Spektralzerlegung linearer Operatoren des \textit{Hilbert}schen Raumes, wird gezeigt: Ist \(A(\varepsilon)\) ein regulärer, d. h. in eine für kleine \(\varepsilon\) konvergente Reihe \[ A(\varepsilon) = A_0 + \varepsilon A_1 + \varepsilon^2A_2 + \cdots \] entwickelbarer beschränkter symmetrischer linearer Operator des \textit{Hilbert}schen Raumes und besitzt \(A(0)\) einen \(h\)-fachen isolierten Punkteigenwert \(\lambda\) (so daß also in einem Intervall \((\lambda - d_1, \lambda + d_2)\) das Spektrum von \(A(0)\) leer ist), dann besitzt in einer hinreichend kleinen Umgebung von \(\varepsilon = 0\) auch \(A(\varepsilon)\) Eigenwerte, und zwar in einem Intervall \((\lambda - d_1', \lambda+ d_2')\) mit \(d_1' < d_1\), \(d_2' < d_2\) genau \(h\) Eigenwerte \(\lambda_1(\varepsilon), \ldots, \lambda_h(\varepsilon)\) (sobald nur \(|\varepsilon| < \varrho (d_1',d_2')\) ist), die ebenso wie die zugehörigen Eigenfunktionen \(\varphi_1(\varepsilon),\ldots, \varphi_h(\varepsilon)\) regulär von \(\varepsilon\) abhängen. An Beispielen wird gezeigt, daß sowohl die Voraussetzung endlicher Vielfachheit von \(\lambda\) als auch die Abhängigkeit des Operators \(A(\varepsilon)\) von nur einem Parameter \(\varepsilon\) wesentlich ist. Doch läßt sich der ausgesprochene Satz auch auf Operatoren \(A(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_s)\) mit \(s > 1\) übertragen, falls nur \(h = 1\) vorausgesetzt wird. Für den Sonderfall des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes wird überdies gezeigt, daß auch die Voraussetzung der Regularität von \(A(\varepsilon)\) wesentlich ist und nicht etwa durch beliebig oftmalige Differenzierbarkeit ersetzt werden kann. Die gewonnenen Ergebnisse werden auf den \textit{Fredholm}schen Operator \[ \int \limits_0^1 K(x,y,\varepsilon)u(y)\,dy \] mit in \(x\), \(y\) stetigem Kern \(K(x,y,\varepsilon)\) angewendet.