Über die Vielfachheiten gestörter Eigenwerte. (Q2607831)

\textit{F. Rellich} hat in seiner Arbeit Störungstheorie der Spektralzerlegung I (vgl. das zweitvorangehende Referat) bewiesen, daß, falls die Gleichung \[ A \varphi = \lambda\varphi, \] in der \(A\) einen beschränkten \textit{Hermite}schen Operator des \textit{Hilbert}schen Raumes bedeutet, einen \(h\)-fachen isolierten Punkteigenwert \(\lambda\) besitzt, die gestörte Gleichung \[ (A + B(\varepsilon)) \varphi = (\lambda + \mu(\varepsilon))\varphi \] unter der Voraussetzung einer regulären, d. h. in eine Potenzreihe nach \(\varepsilon\) entwickelbaren Störung \(B(\varepsilon)\) in einer genügend kleinen Umgebung der Stelle \(\varepsilon = 0\) gleichfalls genau \(h\) Eigenwerte \(\lambda + \mu(\varepsilon)\) und ebenso viele Eigenfunktionen \(\varphi(\varepsilon)\) besitzt, wobei die Eigenwertstörungen \(\mu(\varepsilon)\) einer Determinantengleichung \[ |p_{\alpha\beta}(\mu,\,\varepsilon)| = 0 \quad (\alpha,\beta=1,2, \ldots,h) \] mit explizit angebbaren \(p_{\alpha\beta}\) genügen. In der vorliegenden Arbeit wird nun unter Heranziehung funktionentheoretischer, auf \textit{Weierstraß} zurückgehender Hilfsmittel dieses Ergebnis dahingehend verschärft, daß überdies auch die Anzahl der zu einem bestimmten Eigenwert \(\lambda + \mu(\varepsilon)\) gehörigen linear unabhängigen Eigenfunktionen \(\varphi(\varepsilon)\) als gleich mit der Multiplizität von \(\mu(\varepsilon)\) als Wurzel der Säkulargleichung \(|p_{\alpha\beta}|=0\) erkannt und bewiesen wird.