Die Gleichungstheorie im Hilbertschen Raum. (Q2607832)

Für die lineare Gleichungstheorie im \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak H\) ist der folgende Äquivalenzbegriff grundlegend: Zwei lineare abgeschlossene Operatoren \(A_1\), \(A_2\) heißen äquivalent, wenn es zwei ``intakte'' Operatoren \(P\), \(Q\) gibt mit \(A_2 = QA_1P\) (intakt heißt ein abgeschlossener linearer Operator, wenn er beschränkt ist und eine eindeutige beschränkte Reziproke besitzt). Die vom Verf. gefundene Lösung des Äquivalenzproblems ist enthalten in den zwei Sätzen: 1. Jeder abgeschlossene lineare Operator ist äquivalent einem reellen Diagonaloperator \(G\), d. h. einem Operator, der sich in einem geeigneten orthogonalen Koordinatensystem von \(\mathfrak H\) als eine reelle Matrix darstellt, deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonale alle verschwinden. Dabei darf bei gleichem \(G\) von den die Äquivalenz vermittelnden Operatoren \(P\) und \(Q\) einer unitär gewählt werden. 2. Zwei reelle Diagonaloperatoren \(G_1\) und \(G_2\) sind dann und nur dann äquivalent, wenn die sie darstellenden Matrizen gleichviele Nullzeilen bzw. -spalten besitzen und wenn die nicht verschwindenden Elemente \(\delta_i^{(1)}\) bzw. \(\delta_i^{(2)}\) dieser Matrizen sich in solcher Weise eineindeutig aufeinander beziehen lassen, \(\delta_i^{(1)} \to \delta_{p_i}^{(2)}\), daß die absoluten Beträge der Quotienten \(\delta_i^{(1)}/\delta_{p_i}^{(2)}\) zwischen zwei festen positiven Schranken liegen. Mit dieser Lösung des Äquivalenzproblems ist in sehr allgemeiner Fassung auch eine, bisher fehlende, algebraisch befriedigende Auflösungstheorie für lineare Gleichungen im \textit{Hilbert}schen Raum geschaffen.